\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage{polish}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{a4wide}

\newcommand {\bm}[1]{\mbox{\boldmath$#1$}}
\newcommand {\Ds}{\displaystyle}
\newcommand {\Ts}{\textstyle}
\newcommand {\Ss}{\scriptstyle}
\newcommand {\SSs}{scriptscriptstyle}

\begin{document}

\title{Kwantowa teoria materii}
\author{Leszek Stolarczyk}
\date{\today}
\maketitle

\section{Czym jest kwantowa teoria materii?} \label{ch:kwteomat}

   Kwantowa teoria materii jest wsp"olczesn"a  teori"a  struktury  i  
w"lasno"sci materii opart"a na mechanice kwantowej. Problem  budowy  i trwa"lo"sci atom"ow, oraz zagadnienia  zwi"azane absorpcj"
a i emisj"a promieniowania  elektromagnetycznego przez uk"lady 
atomowe i molekularne  (czyli problemy nale"r"ace do fizyki mikro"swiata)  nie znajdowa"ly  sensownego wyja"snienia w          ramach te
oretycznej fizyki XIX w., kt"orej filarami  by"ly  mechanika  
klasyczna, termodynamika oraz teoria  elektryczno"sci  i magnetyzmu stworzona przez  Jamesa C. Maxwella. Za dat"e narodzin kwantowej teor
ii  materii  przyj"a"c  mo"rna  dzie"n  14 grudnia 1900, w  kt"orym 
Max Planck przedstawi"l wyniki swych prac nad  teori"a  promieniowania cia"la doskonale czarnego. Z  teorii  Plancka  wynika"lo, "r
e  materia  nie  mo"re  wypromieniowywa"c  energii  inaczej, ni"r  w 
okre"slonych porcjach, zwanych  kwantami.

  W  pierwszym  okresie  rozwoju  fizyki kwantowej  (tzw.  stara  
teoria kwant"ow, 1900-1925) najwa"rniejsz"a  rol"e,  poza Planckiem,  odegrali: Albert Einstein  (1905 -- teoria  efektu fotoelektryc
znego,  wprowadzaj"aca poj"ecie kwant"ow promieniowania 
elektromagnetycznego,  zwanych  p"o"zniej fotonami [zob. kwant],  1907-- pierwsza  kwantowa teoria ciep"la  w"la"sciwego cia"l sta"lych, 1917 -
- wyprowadzenie postaci  tzw. wsp"o"lczynnik"ow Einsteina, 
okre"slaj"acych  absorpcj"e  i  emisj"e  promieniowania elektromagnetycznego  przez materi"e), Niels Bohr (1913 -- pierwsza  kwantowa teoria
 budowy atomu), Arnold Sommerfeld (1916 -- sformu"lowanie tzw. regu"l 
kwantyzacji, rozwini"ecie  teorii atomu Bohra), Louis de Broglie (1923-25 --  teoria fal materii) i Wolfgang Pauli (1925 -- sform
u"lowanie prawa zwanego zakazem Pauliego).

  Stara teoria kwant"ow nie by"la w istocie sp"ojn"a i  konsekwentn"a 
 teori"a zjawisk w mikro\-"swiecie. Prze"lomowe  znaczenie  dla  konstrukcji sp"ojnej teorii  kwant"ow  mia"la praca, kt"or"a w 1
925 opublikowa"l 24-letni wtedy  Werner Heisenberg. Teoria kwantowa 
Heisenberga zosta"la w tym  samym  roku  rozwini"eta  przy wsp"o"lpracy  Maxa Borna i Pascuala Jordana  i zwana jest czasem mechani
k"a macierzow"a.   W  1926  Erwin Schr\"{o}dinger sformu"lowa"l tzw. 
mechanik"e  falow"a,  opart"a na  koncepcji  fal  materii  de  Broglie'a.  Mechanika  macierzowa  i  mechanika falowa (a tak"re fo
rmalizm zaproponowany  w 1925 przez Paula A.M. Diraca) okaza"ly si"e  
r"o"rnymi, ale r"ownowa"rnymi, sformu"lowaniami teorii, kt"or"a  obecnie  nazywa  si"e  (nierelatywistyczn"a)  mechanik"a  kwanto
w"a. W badaniu matematycznych podstaw  mechaniki kwantowej du"r"a 
rol"e odegra"l John von Neumann.  Hermannowi Weylowi  i Eugene Wignerowi zawdzi"eczamy  analiz"e  problemu symetrii w mechanice kwant
owej i  rozw"oj  metod  teorii  grup. Wielki wk"lad w dalszy  rozw"oj 
 teorii kwantowych wni"os"l tak"re Dirac, kt"orego dzie"lem  jest,  m.in., stworzenie podstaw elektrodynamiki   kwantowej  (1927)
  oraz  skonstruowanie  relatywistycznego (czyli   zgodnego  z  
zasadami  szczeg"olnej teorii wzgl"edno"sci Einsteina) r"ownania  falowego dla  elektronu,  zwanego  r"ownaniem  Diraca  (1928); r"owna
nie to wyja"snia m.in. istnienie wewn"etrznego momentu  p"edu (czyli  
spinu) elektronu. Ogromn"a  rol"e   inspiruj"ac"a  w  rozwoju  i  upowszechnieniu  mechaniki  kwantowej  odegra"l  Niels  Bohr.  
Zalo"rony  przez  niego w 1921 r. w Kopenhadze Instytut Fizyki 
Teoretycznej  by"l w latach 20. i 30. czo"lowym o"srodkiem,  w kt"orym m"lodzi fizycy z ca"lego "swiata poznawali  i  rozwijali kwantow"
a teori"e materii. Bohr wni"os"l  tak"re donios"ly wk"lad w analiz"e 
filozoficznych  aspekt"ow  mechaniki  kwantowej, wsp"o"ltworz"ac (wraz z Heisenbergiem, Bornem i von Neumannem) tzw. kopenhask"a  
interpretacj"e  mechaniki  kwantowej. W  my"sl  tej interpretacji 
mechanika kwantowa stanowi sp"ojny  i pe"lny model rzeczywisto"sci, a jej sprzeczno"sci  z  fizyk"a klasyczn"a maj"a charakter fundam
entalny  (chodzi  tu zw"laszcza o to, "re mechanika  kwantowa nie 
jest teori"a deterministyczn"a), cho"c w  granicy  $\hbar \rightarrow 0$  (gdzie $\hbar$ jest sta"l"a Plancka) przewidywania fizyki k
wantowej redukuj"a si"e  do przewidywa"n fizyki klasycznej, 
spe"lniaj"ac tzw. zasad"e  korespondencji Bohra. 

   Mechanika  kwantowa, kt"orej zr"eby powsta"ly w latach 1925-26  
jest po dzie"n dzisiejszy podstawow"a   teori"a  zjawisk  zachodz"acych  w  "swiecie atom"ow i  cz"asteczek,  a  wi"ec  wszystkich  
zjawisk, kt"orymi  zajmuje si"e chemia i biochemia oraz fizyka 
atomowa i molekularna.  Dalszy  rozw"oj  teorii kwantowych (elektrodynamika  kwantowa, teoria p"ol kwantowych, teoria  cz"astek  element
arnych)  pozwoli"l  g"l"ebiej  wnikn"a"c  w  struktur"e  
mikro"swiata, nie powodowa"l  ju"r  jednak  zasadniczych  zmian w naszej wiedzy o  w"lasno"sciach  materii na poziomie atomowym i molekularnym
.  Rozwa"rana na tym poziomie, materia mo"re  by"c  opisana  w  
ramach nierelatywistycznej mechaniki  kwantowej jako zbi"or  elektron"ow  i j"ader atomowych, traktowanych jako  cz"astki punktowe obda
rzone mas"a i "ladunkiem, b"ed"acych  w  ruchu i oddzia"luj"acych ze 
sob"a si"lami  elektrostatycznymi.  Ten model materii le"ry u podstaw chemii kwantowej.

\newpage
\section{Postulaty mechaniki kwantowej (I-IV)} \label{ch:postulaty}

Podstawow"a teori"a w chemii kwantowej jest tzw. nierelatywistyczna 
mechanika kwantowa, a wi"ec ta wersja teorii, w kt"orej zaniedbuje si"e efekty zwi"azane z zale"rno"sci"a masy cz"astek od ich pr"e
dko"sci, sko"nczon"a pr"edko"sci"a rozchodzenia si"e wszystkich 
oddzia"lywa"n, itp. Efekty te maj"a z regu"ly niewielki wp"lyw na w"lasno"sci atom"ow i moleku"l istotne z punktu widzenia chemii. Wszy
stko, co b"edziemy m"owi"c na temat mechaniki kwantowej dotyczy"c 
b"edzie jej wersji nierelatywistycznej. Podstawowe za"lo"renia,  na  kt"orych  jest  oparta  mechanika kwantowa wyrazi"c mo"rna w r"o
"rny spos"ob.  Poni"rej przedstawione zostan"a cztery postulaty, 
kt"ore mo"rna zastosowa"c do opisu uk"ladu kwantowego, sk"ladaj"acego si"e z jednej cz"astki o masie $m$, poruszaj"acej si"e w przestr
zeni o jednym wymiarze, wzd"lu"r osi $x$. Dodatkowe postulaty, 
dotycz"ace spinu cz"astek oraz symetrii permutacyjnej uk"ladu wielu jednakowych cz"astek, b"ed"a om"owione p"o"zniej.\\

\noindent {\bf  Postulat I (O stanie uk"ladu kwantowego)} \\

 Stan  cz"astki  okre"sla funkcja falowa $\Psi = \Psi(x,t)$, zale"rna 
 od  po"lo"renia cz"astki $x$ i czasu $t$. Funkcje falowe przyjmuj"a na og"o"l warto"sci zespolone, przez $\Psi^*(x,t)$  oznacza"
c  b"edziemy warto"s"c zespolon"a sprz"e"ron"a w stosunku  do  
$\Psi(x,t)$.  Zgodnie ze statystyczn"a  interpretacj"a funkcji falowej (Born, 1926) wielko"s"c
\begin{equation}\label{eq:p(x,t)}
p(x,t) = \Psi^*(x,t) \Psi(x,t) = |\Psi(x,t)|^2 \; ,
\end{equation}
(z definicji -- rzeczywista i nieujemna) okre"sla tzw. 
\emph{g"esto"s"c prawdopodobie"nstwa} po"lo"renia cz"astki w punkcie $x$ w chwili $t$. Znajomo"s"c $p(x,t)$ pozwala obliczy"c \emph{prawdopodobi
e"nstwo} znalezienia cz"astki w r"o"rnych przedzia"lach osi $x$. Na 
przyk"lad,
\begin{equation}\label{eq:P(x1,x2,t)}
P[x_1, x_2](t) = \int_{x_1}^{x_2} p(x,t) \, dx = \int_{x_1}^{x_2} 
|\Psi(x,t)|^2 \, dx  \; ,
\end{equation}
okre"sla prawdopodobie"nstwo  tego, "re cz"astka  w chwili $t$ 
znajduje si"e w przedziale $[x_1, x_2]$, gdzie $x_1 < x_2$. Zak"lada si"e, "re funkcja falowa spe"lnia"c musi, w ka"rdej chwili $t$, war
unek normalizacji:
\begin{equation}\label{eq:norm}
\int_{-\infty}^{\infty} |\Psi(x,t)|^2 dx = 1 \; .
\end{equation}
Dodatkowo, "r"ada si"e od funkcji falowej, by by"la ci"ag"la i 
r"o"rniczkowalna dla wszystkich warto"sci zmiennych $x$ i $t$.  Warto w tym miejscu zwr"oci"c uwag"e, "re po"lo"renie cz"astki $x$ i cza
s $t$ nie s"a tu traktowane na tych samych zasadach, gdy"r obliczanie 
prawdopodobie"nstwa z r"own. (\ref{eq:P(x1,x2,t)}) oraz warunek nor\-ma\-li\-za\-cji (\ref{eq:norm}) nie wymagaj"a ca"lkowania po
 $t$. Takie "`a\-sy\-met\-rycz\-ne'' traktowanie wsp"o"lrz"ednej 
czasowej i przestrzennej wynika z zaniedbania efekt"ow relatywistycznych -- zak"lada si"e tu mo"rliwo"s"c ok\-re"s\-le\-nia, w danej c
hwili czasu, praw\-do\-po\-do\-bie"n\-stwa po"lo"renia cz"astki w 
dowolnym przedziale na ca"lej osi $x$. Co wi"ecej, z warunku normalizacji (\ref{eq:norm}) wynika za"lo"renie, "re w ka"rdej chwili $t
$ cz"astka przebywa gdzie"s na osi $x$ z prawdopodobie"nstwem r"ownym 
$1$, a wi"ec jej istnienie w  czasie nie podlega "radnej statystycznej niepewno"sci. 

Okazuje si"e, "re zale"rno"s"c od czasu funkcji falowej $\Psi(x,t)$ 
ma "sci"sle okre"slon"a posta"c (m"owi o tym postulat III),  teraz za"s skupimy si"e na tych cechach  tej funkcji, kt"ore wi"a"r"a 
si"e z zale"rno"sci"a od wsp"o"lrz"ednej $x$ (odpowiada 
przeprowadzaniu rozwa"ra"n dla ustalonej chwili $t$). B"edziemy chcieli znale"z"c zbi"or funkcji $\{\psi\}$ zmiennej $x$ (funkcji o warto"sciac
h zespolonych), kt"ore  mog"lyby reprezentowa"c dozwolone stany 
cz"astki w danej chwili $t$. Ka"rda funkcja $\psi(x)$ z tego zbioru powinna spe"lnia"c nast"epuj"ace warunki:\\
\begin{tabular}{rl}
(i) & $\psi $ jest ci"ag"la, \\
(ii) & $\psi $ jest r"o"rniczkowalna, \\
(iii) & $\psi $ jest "`ca"lkowalna w kwadracie'', czyli spe"lnia 
warunek
\end{tabular}
\begin{equation}\label{eq:int2}
\int_{-\infty}^{\infty} |\psi(x)|^2 dx = S \; ,
\end{equation}
gdzie dodatnia liczba rzeczywista $S$ jest sko"nczona, $0 < S < 
\infty \;$. Powy"rszy warunek zapewnia, "ze tzw. znormalizowana funkcja falowa,
\begin{equation}\label{eq:normal}
\psi' = N \psi \; ,
\end{equation}
gdzie $N = (\sqrt{S})^{-1} \,$, spe"lnia  warunek normalizacji 
(\ref{eq:norm}).
Funkcje $\psi(x)$ spe"lniaj"ace warunki (i-iii)  nazywane s"a 
funkcjami porz"adnymi (albo funkcjami klasy Q). Mo"rna wykaza"c, "ze suma dw"och funkcji klasy Q jest funkcj"a klasy Q, oraz "re iloczyn 
funkcji klasy Q przez liczb"e zespolon"a jest funkcj"a klasy Q. 
Wynika z tego, "re zbi"or funkcji klasy Q tworzy (zespolon"a) przestrze"n wektorow"a (wektorami w tej przestrzeni s"a funkcje porz"adne
 $\psi$, kt"otre czasami nazywa"c b"edziemy po prostu wektorami).  W 
przestrzeni tej mo"rna okre"sli"c iloczyn skalarny
\begin{equation}\label{eq:ilskal}
\langle \phi | \psi \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} \phi^*(x) 
\psi(x) \, dx \; ,
\end{equation}
spe"lniaj"acy te same warunki, co iloczyn skalarny wektorow w 
zwyk"lej zespolonej przestrzeni wektorowej. 

Zespolona przestrze"n wektorowa funkcji typu Q, z iloczynem skalarnym 
okre"slonym w r"own. (\ref{eq:ilskal}) nazywana jest  przestrzenia Hilberta. W przestrzeni tej mo"rna zdefiniowa"c norm"e  funkcj
i (czyli d"lugo"s"c wektora):
\begin{equation}\label{eq:norma}
||\psi|| = \sqrt{\langle \psi | \psi \rangle} \; .
\end{equation}
Zauwa"zmy, "re warunek normalizacji funkcji falowej, zapisany przy 
pomocy normy funkcji,  przyjmuje posta"c:
\begin{equation}\label{eq:norm(2)}
||\psi||^2 = \langle \psi | \psi \rangle = 1 \; .
\end{equation}
Dowodzi si"e, "re w przestrzeni Hilberta mo"rna wybra"c 
niesko"nczon"a baz"e ortonormaln"a,
\begin{equation}\label{eq:baza}
\mbox{\sf B} = \{\phi_1, \phi_2, \ldots\} \; , 
\end{equation}
zwan"a tak"re zbiorem zupe"lnym funkcji, kt"ora spe"lnia warunki 
ortonormalno"sci:
\begin{equation}\label{eq:ortonorm}
\langle \phi_m | \phi_n \rangle = \delta_{mn} \; ,
\end{equation}
gdzie wska"zniki $m,n = 1, 2, \ldots$ przebiegaj"a ca"ly zbi"or liczb 
naturalnych. W danej przes\-trze\-ni Hilberta istnieje niesko"nczenie wiele r"ow\-no\-wa"r\-nych baz ortonormalnych. Ka"rda taka 
baza ma t"e w"lasno"s"c,  "re dowoln"a funkcj"e klasy Q mo"rna 
przedstawi"c w postaci nie\-sko"n\-czo\-nej sumy (czyli rozwin"ac w szereg):
\begin{equation}\label{eq:rozw)}
\psi  = \sum_{m=1}^{\infty} c_m \, \phi_m  \; ,
\end{equation}
gdzie wsp"o"lczynniki rozwini"ecia $c_m$, okre"slone w spos"ob 
jednoznaczny, s"a pewnymi liczbami zespolonymi, kt"ore mo"rna wyznaczy"c jako rzuty ortogonalne na "`kierunki'' wyznaczone przez wektory
 bazy ortonormalnej {\sf B}:
\begin{equation}\label{eq:rzut}
c_m = \langle \phi_m | \psi \rangle  \; .
\end{equation}
Ze spe"lnienia warunku (\ref{eq:int2}) przez funkcj"e $\psi$, oraz z 
tego, "re rozwa"rana baza jest ortonormalna wynika, "re wsp"o"lczynniki rozwini"ecia musz"a spe"lnia"c warunek
\begin{equation}\label{eq:int2(2))}
\sum_{m=1}^{\infty} |c_m|^2 = S \; ,
\end{equation}
gdzie $0 < S < \infty \;$. Przestrze"n Hilberta jest podstawow"a 
struktur"a matematyczn"a s"lu"r"ac"a do opisu stan"ow uk"ladu kwantowego.\\

\noindent {\bf Postulat II (O reprezentacji zmiennych dynamicznych)} 
\\

  Do zmiennych dynamicznych opisuj"acych cz"astk"e w mechanice 
klasycznej zaliczamy, m.in., energi"e oraz wsp"o"lrz"edne wektor"ow: po"lo"renia, p"edu i  momentu p"edu. W mechanice kwantowej zmienne 
dynamiczne reprezentowane s"a przez tzw. hermitowskie operatory  
liniowe  dzia"laj"ace  w  przestrzeni  funkcji  falowych (przestrzeni Hilberta). Operator  $\hat{Q}$  jest  odwzorowaniem, kt"ore przy
porz"adkowuje  danej  funkcji  $\psi$  inn"a funkcj"e,  oznaczan"a  
przez  $\hat{Q} \psi$. Operatory  liniowe spe"lniaj"a nast"epuj"ace warunki:  
\begin{equation}\label{eq:linops}
\begin{array}{l}
\hat{Q} (\phi + \psi) =  \hat{Q} \phi + \hat{Q} \psi \; , \\
\hat{Q} (c \, \psi) =  c \, \hat{Q} \psi \; ,
\end{array}
\end{equation}
dla dowolnych funkcji $\phi$ i $\psi$, oraz dowolnej sta"lej 
zespolonej $c$. Hermitowskie operatory liniowe spe"lniaj"a dodatkowo warunek
\begin{equation}\label{eq:hermit}
\langle \phi | \hat{Q} \psi \rangle = \langle \hat{Q} \phi |  \psi 
\rangle  \; ,
\end{equation}
dla dowolnych funkcji $\phi$ i $\psi$ z przestrzeni Hilberta.

  Zmienne dynamiczne opisuj"ace cz"astk"e mo"rna konstruowa"c w 
oparciu o dwa podstawowe typy zmiennych: wspo"lrz"edne po"lo"renia cz"astki $x, y, z \,$, oraz wsp"o"lrz"edne p"edu cz"astki $p_x, p_y,
 p_z \,$ (w przypadku ruchu cz"astki w jednym wymiarze s"a to zmienne 
$x$ i $p_x \,$). W mechanice kwantowej postuluje si"e nast"epuj"ac"a reprezentacj"e operatorow"a zmiennych dynamicznych $x$ i $p_
x \,$:
 \begin{equation}\label{eq:xpxops}
\begin{array}{l}
\hat{x} = x \; , \\
\hat{p}_x =  -i \hbar \frac{d}{dx} \; .
\end{array}
\end{equation}
Wynika st"ad, "re operator $\hat{x}$  jest operatorem mno"renia przez 
$x$, a operator $\hat{p}_x $ jest proporcjonalny do operatora r"o"rniczkowania. Dowodzi si"e, "re s"a to hermitowskie operatory l
iniowe. Z  operator"ow tych zbudowa"c mo"rna operatory innych 
zmiennych dynamicznych: \\
-- operator energii potencjalnej cz"astki $\hat{V} = V(x)$, gdzie 
$V(x)$ jest pewn"a funkcj"a rzeczywist"a zmiennej $x$, zwan"a potencja"lem, \\
-- operator energii kinetycznej cz"astki $\hat{T} = 
\frac{\hat{p}_x^2}{2m}$, gdzie $m$ jest mas"a cz"astki, \\
-- oraz operator ca"lkowitej energii cz"astki, zwany hamiltonianem:
\begin{equation}\label{eq:H}
\hat{H} = \hat{T} + \hat{V} .
\end{equation}

  W zbiorze operator"ow liniowych mo"rna okre"sli"c nast"epuj"ace 
dzia"lania: dodawanie ope\-ra\-to\-r"ow, oraz mno"renie operatora przez liczb"e zespolon"a. Zbi"or operator"ow liniowych ma wi"ec str
uktur"e zespolonej przestrzeni wektorowej. Dodatkowo, w zbiorze 
operator"ow liniowych mo"rna okre"sli"c mno"renie operator"ow,
$\hat{R} = \hat{P} \hat{Q}$, zdefiniowane jako z"lo"renie 
odpowiednich odwazorowa"n:
\begin{equation}\label{eq:zloz}
\hat{R} \psi = \hat{P}( \hat{Q} \psi) \; ,
\end{equation}
dla dowolnej funkcji $\psi$. M"owi si"e w zwi"azku z tym, "re zbi"or 
operator"ow liniowych tworzy algebr"e. Wa"rn"a  cech"a algebry operator"ow jest nieprzemienno"s"c
iloczynu operator"ow: na og"o"l $\hat{P} \hat{Q} \neq \hat{Q} \hat{P} 
\,$. Miar"a nieprzemienno"sci iloczynu dw"och operator"ow  jest tzw. komutator,
\begin{equation}\label{eq:komut}
[\hat{P}, \hat{Q}] = \hat{P} \hat{Q} - \hat{Q} \hat{P} \; .
\end{equation}
Gdy $[\hat{P}, \hat{Q}] = \hat{0} \,$, gdzie $\hat{0}$ jest 
operatorem zerowym (czyli operatorem mno"renia przez zero), operatory $\hat{P}$ i $\hat{Q}$ nazywamy przemiennymi, w przeciwnym wypadku -- 
nieprzemiennymi.

  W przypadku operator"ow hermitowskich iloczyn operatora 
hermitowskiego przez liczb"e $c$ jest operatorem hermitowskim tylko w przypadku, gdy $c$ jest liczb"a rzeczywist"a. Wynika st"ad, "re zbi"or 
operator"ow hermitowskich, reprezentuj"acych wszystkie mo"rliwe 
zmienne dynamiczne uk"ladu kwantowego, ma struktur"e \emph{rzeczywistej} przestrzeni wektorowej. Z kolei iloczyn operator"ow hermitowsk
ich nie jest, na og"o"l, operatorem hermitowskim (operatory 
hermitowskie nie tworz"a wi"ec algebry operator"ow). Mo"rna wykaza"c, "re komutator operator"ow hermitowskich $\hat{P}$ i $\hat{Q}$ mo"rna 
zapisa"c w postaci
\begin{equation}\label{eq:komuthermit}
[\hat{P}, \hat{Q}] = \hat{P} \hat{Q} - \hat{Q} \hat{P} = i \hat{C} \; 
,
\end{equation}
gdzie $\hat{C}$ jest pewnym operatorem hermitowskim. Je"sli  $\hat{C} 
\neq \hat{0} \,$, to operatory zmiennych dynamicznych $\hat{P}$ i $\hat{Q}$ s"a nieprzemienne. Ta w"lasno"s"c  operator"ow, nie m
aj"aca odpowiednika w klasycznej teorii zmiennych dynamicznych, ma 
wa"rne konsekwencje fizyczne, patrz postulat IV oraz zasada nieoznaczono"sci Heisenberga.  

\end{document}
  
  
