1. Prawdopodobieństwo, że cząstka opisana funkcją falową $\Psi(x,y,z)$ przebywa wewnątrz kuli o środku w początku układu współrzędnych i promieniu $R$, wyraża się wzorem

   a)

   $\int_0^{R}\,{\rm d}r\int_{0}^{\pi}\,{\rm d}\vartheta\int_0^{2\pi}\,{\rm d}\varphi\, R^2\sin\vartheta\left\vert\Psi(r,\vartheta,\varphi)\right\vert^2$,

   b)

   $\int_0^{R}\,{\rm d}r\int_{0}^{\pi}\,{\rm d}\vartheta\int_0^{2\pi}\,{\rm d}\varphi\, r^2\sin\vartheta\left\vert\Psi(r,\vartheta,\varphi)\right\vert^2$,

   c)

   $\int_0^{\infty}\,{\rm d}r\int_{0}^{\pi}\,{\rm d}\vartheta\int_0^{2\pi}\,{\rm d}\varphi\, R^2\sin\vartheta\left\vert\Psi(r,\vartheta,\varphi)\right\vert^2$,

   d)

   $\int_0^{\infty}\,{\rm d}r\int_{0}^{\pi}\,{\rm d}\vartheta\int_0^{2\pi}\,{\rm d}\varphi\, r^2\sin\vartheta\left\vert\Psi(r,\vartheta,\varphi)\right\vert^2$.

2. Która równość jest prawdziwa dla dowolnych operatorów hermitowskich $\hat{A}$ i $\hat{B}$:
   

   a) $\langle\Psi_1\vert\hat{A}\hat{B}\Psi_2\rangle= \langle\hat{A}\hat{B}\Psi_1\vert\Psi_2\rangle$,	b) $\langle\Psi_1\vert\hat{A}\hat{B}\Psi_2\rangle= \langle\hat{B}\hat{A}\Psi_1\vert\Psi_2\rangle$,
   c) $\hat{A}\hat{B}=\hat{B}\hat{A}$,	d) $\hat{A}\hat{B}=-\hat{B}\hat{A}$.

   
   

3. Wartość średnia operatora $\hat{A}$

   a)

   dla dowolnej funkcji $\Psi$ dana jest wzorem $\langle\Psi\vert\hat{A} \Psi\rangle$,

   b)

   jest zawsze równa jednej z wartości własnych operatora $\hat{A}$,

   c)

   jest taka sama dla wszystkich stanów o tej samej energii, o ile $\hat{A}$ komutuje z hamiltonianem,

   d)

   jest liczbą rzeczywistą, o ile $\hat{A}$ jest operatorem hermitowskim.

4. Równanie Schrdingera dla cząstki swobodnej (o masie $m$) w przestrzeni trójwymiarowej ma postać

   a)

   $-\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}+ \frac{\partial^2\Psi}{\partial y^2}+\frac{\partial^2\Psi}{\partial z^2}\right)= E\Psi$,

   b)

   $-\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}+ \frac{\partial^2\Psi}{\partial y^2}+\frac{\partial^2\Psi}{\partial z^2} -E\right)=0$,

   c)

   $-\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}+ \frac{\partial^2... ...rac{\partial^2\Psi}{\partial z^2} \right)+\frac{1}{2}(x^2+y^2+z^2)\Psi= E\Psi$,

   d)

   $-\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}+ \frac{\partial^2... ...}+\frac{\partial^2\Psi}{\partial z^2} \right)+\frac{1}{2}(x^2+y^2+z^2)= E\Psi$.

5. Rozważamy cząstkę swobodną w przestrzeni trójwymiarowej. Które dwa operatory komutują:
   

   a) $\hat{p}_x$ i $\hat{x}$,

   b) $\hat{p}_x$ i $\hat{p}_y$,

   c) $\hat{p}^2$ i $\hat{y}$,

   d) $\hat{H}$ i $\hat{z}$.

   
   

6. Energia $n$-tego poziomu energetycznego cząstki w jednowymiarowym pudle potencjału

   a)

   jest proporcjonalna do $n$ i maleje ze wzrostem rozmiarów pudła,

   b)

   jest proporcjonalna do $n$ i rośnie ze wzrostem rozmiarów pudła,

   c)

   jest proporcjonalna do $n^2$ i maleje ze wzrostem rozmiarów pudła,

   d)

   jest proporcjonalna do $n^2$ i rośnie ze wzrostem rozmiarów pudła.

7. Cząstka w jednowymiarowym pudle potencjału o długości $L$ znajduje się w pierwszym stanie wzbudzonym (tzn. $n=2$). Prawdopodobieństwo, że cząstka ta znajduje się w odległości nie większej niż $L/4$ od lewego brzegu pudła, jest
   

   a) mniejsze od $\frac{1}{4}$,	b) równe $\frac{1}{4}$,
   c) większe od $\frac{1}{4}$, mniejsze od $\frac{1}{2}$,	d) równe $\frac{1}{2}$.

   
   

   Wskazówka. Narysuj sobie wykres funkcji falowej pierwszego stanu wzbudzonego.

8. Funkcja falowa stanu podstawowego cząstki w jednowymiarowym pudle potencjału jest
   

   a) ciągła w każdym punkcie,	b) nieciągła w jednym punkcie,
   c) nieciągła w dwóch punktach,	d) nieciągła w każdym punkcie.