1. Energia stanu podstawowego pewnego układu wynosi $E_0$. Dla dowolnej funkcji $\psi$ z przestrzeni Hilberta tego układu wartość średnia hamiltonianu, $\epsilon=\frac{\langle\psi\vert H\psi\rangle} {\langle\psi\vert\psi\rangle}$, spełnia warunek
   

   a) $\epsilon\leq 0$

   b) $\epsilon\geq 0$

   c) $\epsilon\leq E_0$

   d) $\epsilon\geq E_0$

   
   

2. Szukamy metodą wariacyjną przybliżonej funkcji falowej stanu podstawowego pewnego układu w klasie funkcji zależnych od jednego parametru rzeczywistego $\alpha$. Obliczyliśmy, że wartość średnia hamiltonianu dla funkcji z tej klasy wynosi $\epsilon(\alpha)= (\alpha-1)^2-2$. Zatem przybliżona energia stanu podstawowego jest równa
   

   a) $-2$

   b) $-1$

   c) 1

   d) 2

   
   

3. Niech $E_a,E_b,E_c$ będą wariacyjnymi przybliżeniami do energii stanu podstawowego atomu wodoru, otrzymanymi odpowiednio w klasach funkcji próbnych $\psi_a,\psi_b,\psi_c$:
   
   $$\begin{array}{l} \psi_a(\alpha)=e^{-\alpha r},\\ \psi_b(\alp... ...\beta)=(1+\beta r)e^{-\alpha r^2},\makebox[3in]{}\\ \end{array}$$
   
   
   gdzie $\alpha,\beta$ są (rzeczywistymi) parametrami, $\alpha>0$. Które nierówności są prawdziwe:
   

   a) $E_a<E_b<E_c$

   b) $E_a<E_c<E_b$

   c) $E_b<E_c<E_a$

   d) $E_c<E_b<E_a$

   
   

4. W metodzie Ritza szukamy przybliżonej funkcji falowej jako kombinacji liniowej funkcji $\chi_1,\ldots,\chi_N$. W tym celu policzyliśmy macierze $\mathbf H$ i $\mathbf S$ o elementach $H_{ij}=\langle\chi_i\vert H\chi_j\rangle$ i $S_{ij}=\langle\chi_i\vert\chi_j\rangle$. Jeśli funkcje $\chi_i$ są ortonormalne, macierz $\mathbf S$ jest macierzą jednostkową; energia stanu podstawowego otrzymana metodą Ritza jest wówczas równa

   a)

   wyznacznikowi macierzy $\mathbf H$,

   b)

   sumie elementów diagonalnych $H_{ii}$ macierzy $\mathbf H$,

   c)

   sumie wartości własnych macierzy $\mathbf H$,

   d)

   najniższej wartości własnej macierzy $\mathbf H$.

Uwaga. W pytaniach dotyczących rachunku zaburzeń (5-8) zakładamy normalizację pośrednią ( $\langle\psi^{(0)}\vert\psi^{(k)}\rangle=0$ dla $k>0$) oraz brak degeneracji.

1. Poprawki $\psi^{(1)},\psi^{(2)},E^{(1)},E^{(2)}$ wiąże ze sobą równanie

   a)

   $H_0\psi^{(2)}+H'\psi^{(1)}=E^{(0)}\psi^{(0)}+E^{(1)}\psi^{(1)} +E^{(2)}\psi^{(2)}$

   b)

   $H_0\psi^{(1)}+H'\psi^{(2)}=E^{(0)}\psi^{(0)}+E^{(1)}\psi^{(1)} +E^{(2)}\psi^{(2)}$

   c)

   $H_0\psi^{(2)}+H'\psi^{(1)}=E^{(0)}\psi^{(2)}+E^{(1)}\psi^{(1)} +E^{(2)}\psi^{(0)}$

   d)

   $H_0\psi^{(1)}+H'\psi^{(2)}=E^{(0)}\psi^{(2)}+E^{(1)}\psi^{(1)} +E^{(2)}\psi^{(0)}$

2. Iloczyn skalarny $\langle\psi^{(0)}\vert H_0\psi^{(1)}+H'\psi^{(0)}\rangle$ jest równy
   

   a) $E^{(0)}$

   b) $E^{(1)}$

   c) $E^{(1)}+E^{(0)}$

   d) $E^{(1)}-E^{(0)}$

   
   

3. Pierwsza poprawka do funkcji falowej dla $n-$tego stanu, $\psi^{(1)}_n$, dana jest wzorem
   

   a) $${\sum_{m\neq n} \frac{\langle\psi^{(0)}_m\vert H'\psi^{(0)}_n \rangle}{E^{(0)}_n-E^{(0)}_m}}$$	b) $${\sum_{m\neq n} \frac{\langle\psi^{(0)}_m\vert H'\psi^{(0)}_n \rangle}{E^{(0)}_n-E^{(0)}_m}\psi^{(0)}_m}$$
   c) $${\sum_{m\neq n} \frac{\left\vert\langle\psi^{(0)}_m\vert H'\psi^{(0)}_n \rangle\right\vert^2}{E^{(0)}_n-E^{(0)}_m}}$$	d) $${\sum_{m\neq n} \frac{\left\vert\langle\psi^{(0)}_m\vert H'\psi^{(0)}_n \rangle\right\vert^2}{E^{(0)}_n-E^{(0)}_m}\psi^{(0)}_m}$$

   
   

4. Dokładna energia $E_0$ stanu podstawowego oraz współczynniki $E^{(0)}_0,E^{(1)}_0,E^{(2)}_0$ jej rozwinięcia w rachunku zaburzeń spełniają zawsze warunek
   

   a) $E^{(0)}_0+E^{(1)}_0\geq E_0$

   b) $E^{(1)}_0\leq 0$

   c) $E^{(2)}_0\geq 0$

   d) $E^{(0)}_0+E^{(1)}_0\leq E_0$