Test matematyczny -- październik 1999
grupa Konrada Patkowskiego

1. Iloczyn skalarny wektorów $[1,0,3]$ i $[1,3,-3]$ wynosi
   

   a) $-8$

   b) $8$

   c) $-11$

   d) $11$

   
   
2. Wartość wyrażenia $(2i)^4$ wynosi
   

   a) $16i$

   b) $-16i$

   c) $16$

   d) $-16$

   
   
3. Niech
   
   $${\mathbf A}=\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\ 1&2&0\\ 1&2&3\\ \... ...[\begin{array}{ccc} 3&3&3\\ 0&2&2\\ 0&0&1\\ \end{array}\right].$$
   
   
   Wyznacznik macierzy ${\mathbf A}{\mathbf B}$ jest równy
   

   a) $-18$

   b) $-2$

   c) $12$

   d) $36$

   
   
4. Największa wartość funkcji $f(x)=\sin x\cos x$ to
   

   a) $\frac{1}{4}$

   b) $\frac{1}{3}$

   c) $\frac{1}{2}$

   d) $1$

   
   
5. Wartość wyrażenia $\cos 2\alpha$ jest dla wszystkich $\alpha$ równa
   

   a) $2\sin\alpha\cos\alpha$

   b) $1+\cos^2\alpha$

   c) $\cos^2\alpha+\sin^2\alpha$

   d) $\cos^2\alpha-\sin^2\alpha$

   
   
6. Pochodną funkcji $f(x)=x\ln x$ jest funkcja
   

   a) $\ln x$

   b) $\ln x+1$

   c) $\frac{1}{x}$

   d) $\frac{1}{x}-1$

   
   
7. Jeśli
   
   $$\left(\frac{\rm df}{\rm dx}\right)_{x=x_0}=0\;\;\;{\rm i}\;\;\; \left(\frac{\rm d^2f}{\rm dx^2}\right)_{x=x_0}>0,$$
   
   
   to funkcja $f$ ma w punkcie $x_0$
   

   a) maksimum

   b) minimum

   c) punkt siodłowy

   d) punkt przegięcia

   
   
8. Niech $f$ będzie funkcją różniczkowalną. Całka $\left(\int_a^b\,\frac{\rm df}{\rm dx}\,{\rm dx}\right)$ jest równa
   

   a) $f(b+a)$

   b) $f(b-a)$

   c) $f(b)+f(a)$

   d) $f(b)-f(a)$

   
   
9. Niech $K$ będzie kołem o środku w punkcie $(0,0)$ i promieniu 1. Całka po zbiorze $K$
   
   $$\int\!\!\!\!\int_{\!\!\!\!\!\!\raisebox{-1.4ex}{$K$}}\, \sqrt{x^2+y^2}\,{\rm dx\,dy}$$
   
   
   jest równa
   

   a) $\frac{2\pi}{3}$

   b) $\frac{3\pi}{2}$

   c) $2\pi$

   d) $4\pi$

   
   
10. Rzuciliśmy zwykłą kostką do gry dwa razy -- wypadły dwie szóstki. Prawdopodobieństwo, że w trzecim rzucie też wypadnie szóstka, jest równe
    

    a) $\frac{1}{216}$

    b) $\frac{1}{36}$

    c) $\frac{1}{6}$

    d) $\frac{1}{2}$