Test matematyczny -- styczeń 2000 (II termin)
grupa Konrada Patkowskiego

1. Część rzeczywista liczby $e^{\frac{\pi i}{4}}$ jest równa
   

   a) $0$

   b) $\frac{1}{\sqrt{2}}$

   c) $1$

   d) $\sqrt{2}$

   
   
2. Sprzężenie zespolone liczby $e^{2i}$ jest równe
   

   a) $e^{-2i}$

   b) $e^{\frac{i}{2}}$

   c) $e^{2i}$

   d) $e^{-2}$

   
   
3. Niech $\stackrel{\to}{a}=[1,1,0]$, $\raisebox{0.02in}{$\stackrel{\to} {b}$}\!=[1,-3,0]$. Iloczyn wektorowy $\stackrel{\to}{a}\times\,\raisebox{0.02in}{$\stackrel{\to}{b}$}$ jest równy
   

   a) $[4,1,-2]$

   b) $[0,3,-1]$

   c) $[1,-1,0]$

   d) $[0,0,-4]$

   
   
4. Jedną z wartości własnych macierzy $\left[\begin{array}{cc}4&1\\ 2&3 \\ \end{array}\right]$ jest liczba
   

   a) $-1$

   b) $0$

   c) $2$

   d) $3$

   
   
5. Równanie różniczkowe $f''=-f$ spełnia funkcja
   

   a) $\frac{1}{x}$

   b) $e^x$

   c) $\cos x$

   d) $\ln x$

   
   
6. Największa wartość funkcji $f(x)=\sqrt[x]{x}$ dla $1\le x<\infty$ jest równa
   

   a) $\sqrt{2}$

   b) $\sqrt[e]{e}$

   c) $\sqrt[3]{3}$

   d) $\sqrt[\pi]{\pi}$

   
   
7. Całka ${\displaystyle \int_1^2\: x^4\, {\rm d}x}$ jest równa
   

   a) $\frac{7}{3}$

   b) $\frac{15}{4}$

   c) $\frac{31}{4}$

   d) $\frac{31}{5}$

   
   
8. Całka ${\displaystyle \int_0^1\, {\rm d}x\int_0^x\, {\rm d}y\int_0^y\, {\rm d}z}$ jest równa
   

   a) $\frac{1}{6}$

   b) $\frac{1}{3}$

   c) $\frac{1}{2}$

   d) $1$

   
   
9. Pole powierzchni kuli o promieniu $R$ wyraża się wzorem
   

   a) $2\pi R$

   b) $4\pi R^2$

   c) $\frac{4}{3}\pi R^3$

   d) $2\pi^2 R^4$

   
   
10. Piszemy trzy listy: do Ani, Beaty i Czarka. Następnie przygotowujemy trzy koperty, zaadresowane do Ani, Beaty i Czarka, i losowo wkładamy do każdej koperty po jednym liście. Dla $k=0,1,2,3$ przez $p_k$ oznaczmy prawdopodobieństwo, że dokładnie $k$ listów trafiło do właściwych kopert. Oczywiście $p_0+p_1+p_2+p_3=1$. A ile wynosi $p_0\cdot p_1\cdot p_2\cdot p_3$ ?
    

    a) $0$

    b) $\frac{1}{3^4}$

    c) $\frac{1}{3^3}$

    d) $\frac{1}{3^2}$