1. Dla elektronu komutują następujące operatory:
    a) $\hat{p}_x$, $\hat{T} $ ,      b) $\hat{p}_x$, $\hat{V}$ ,      c) $\hat{p}_y$, $\hat{H}$ ,      d) $\hat{p}_x$, $\hat{p^2}_x$.

  2. Całkowalne z kwadratem są następujące funkcje :
    a) $ f(x) = exp( -\alpha x), \quad \alpha < 0, \quad x \in \mbox{\boldmath$R$} $
    b) $ f(x) = exp( -i\alpha x), \quad \alpha > 0, \quad i^2 = -1,
  \quad x \in \mbox{\boldmath$R$} $
    c) $ f(x) = exp( -\alpha x^2), \quad \alpha < 0, \quad x \in \mbox{\boldmath$R$} $
    d) $ f(x) = x^2 exp( -\alpha x^2), \quad \alpha > 0, \quad x \in \mbox{\boldmath$R$} $.

  3. Ortogonalne są funkcje :
    a) $ f(x) = exp(-x^2) $ oraz $ g(x) = exp(-2x^2) $,      $x \in \mbox{\boldmath$R$} $
    b) $ f(x) = exp(-x^2) $ oraz $ g(x) = x^2 exp(-2x^2) $,      $x \in \mbox{\boldmath$R$} $
    c) $ f(x) = exp(-x^2) $ oraz $ g(x) = x^3 exp(-2x^2) $,      $x \in \mbox{\boldmath$R$} $
    d) $ f(x) = exp(-x^2) $ oraz $ g(x) = x^4 exp(-2x^2) $,      $x \in \mbox{\boldmath$R$} $.

  4. Niech $\hat{A}$ oznacza operator hermitowski. Niech $f(x)$ jest funkcją własną operatora $\hat{A}$, zaś $\alpha < 0 $ jest odpowiadającą wartością własną. Czy wartością własną operatora $\hat{B} = \hat{A}\hat{A}$ (kwadrat operatora $\hat{A}$ ) jest :
    a) $ -\alpha^2$ ;     b) $\alpha^2$;     c) 0 ;     d) $\alpha i$,     gdzie $i^2 = -1$.

  5. 5-krotna degeneracja wartości własnej $\alpha$ operatora $\hat{A}$ oznacza, że :
    a) jednej funkcji własnej $f(x)$ odpowiada 5 różnych wartości zespolonych $\alpha$ , które mają jednakowy moduł
    b) istnieje 5 liniowo niezależnych funkcji własnych , z których każda odpowiada wartości własnej $\alpha$
    c) istnieje 5 liniowo zależnych funkcji własnych , z których każda odpowiada wartości własnej $\alpha$
    d) istnieje 5 liniowo niezależnych funkcji własnych, które nie są całkowalne z kwadratem.

  6. Wartosc srednia hamiltonianu, t.j. liczba $\alpha$=<$\hat{H}$>, może być liczbą o własności :
    a) istnieje $N_0 < 0$     takie, że dla każdego $N<N_0$     zachodzi $\alpha < N$ .
    b) istnieje taka liczba zespolona $z=a+bi$, że $\alpha$ = $z$ dla $b>0$
    c) istnieje taka liczba zespolona $z=a+bi$, że $\alpha$ = $z$ dla $b<0$
    d) istnieje taka liczba zespolona $z=a+bi$, że $\alpha$ = $z$ dla $b=0$.
  7. Pewna cząstka może przebywać wyłącznie na osi X w ograniczonym obszarze o współrzędnych $ 0 \le x \le 1 $. Zmiana w czasie jej funkcji falowej $\Psi(x,t)$ jest określona równaniem
    $-\frac{1}{i}$ $\frac{\partial \Psi}{\partial t} $ = $\hat{H} \Psi$ ,     gdzie $\hat{H}$ = - $\frac{1}{2}$ $\frac{d^2}{dx^2}$
    Czy funkcją $\Psi$ może być (zastosowano jednostki atomowe, $m=1$, oraz $E = \frac{\pi^2}{2} $ )
    a) $\Psi(x,t) = \sqrt{2} sin(\pi x) sin(Et) $
    b) $\Psi(x,t) = \sqrt{2} sin(\pi x) cos(Et) $
    c) $\Psi(x,t) = \sqrt{2} sin(\pi x) ( cos(Et) - sin(Et) ) $
    d) $\Psi(x,t) = \sqrt{2} sin(\pi x) ( cos(Et) - i \; sin(Et) ) $, gdzie $i^2 = -1$ .
  8. Pewna cząstka może przebywać wyłącznie na osi X w ograniczonym obszarze o współrzędnych $ 0 \le x \le 1 $. Przedział ten dzielimy na trzy równe podprzedziały :
    $A = <0,\frac{1}{3}>$ ,      $ B=<\frac{1}{3},\frac{2}{3}>$,      $ C=<\frac{2}{3},1>$ . Cząstka ma funkcję falową $\Psi(x) = \sqrt{2} sin(\pi x) $ .
    Niech $P(Y)$ oznacza prawdopodobieństwo znalezienia tej cząstki w przedziale $Y$, gdzie $Y = A, B$ lub $C$ . Czy prawdą jest, że :
    a) $P(A) + P(B) + P(C) = \frac{1}{2}$      b) $P(A) < P(B) $      c) $P(A) < P(C) $      d) $P(C) = 0 $ .

  9. Niech $\{ f(x) \} $ jest zbiorem funkcji ciągłych, różniczkowalnych i całkowalnych z kwadratem dla $x \in \mbox{\boldmath$R$} $. Czy liniowy jest operator określony następująco : $\hat{A} f(x) = g(x)$, gdzie $g(x)$ ma postać :
    a) $ -\frac{d^2 f}{dx^2} $ ,     b) $ \sqrt{ \frac{df}{dx} } $ ,     c) ( $x+i\frac{df}{dx}$ ) ( $x-i\frac{df}{dx}$ ) ,     d) $ \sqrt{f} $ .

  10. Niech dla operatora hermitowskiego $\hat{H}$ zachodzi : $\hat{H}\phi_i = E_i \phi_i $, dla $i = 0,1,2,...$ . Niech $f = \frac{1}{ \sqrt{2} }$ ( $\phi_0 + \phi_1 $ ) . Wartość średnia $\alpha$=<$\hat{H}$> tego operatora obliczona z funkcją f jest równa :
    a) $\frac{1}{2}$ ( $E_0 + E_1$ )      b) $E_0$      c) $E_1$      d) $E_0 + E_1$ .



Edyta Malolepsza 2000-11-28