1. Dla jednowymiarowego oscylatora anharmonicznego z hamiltonianem
   $\hat{H} = -\frac{1}{2}\frac{d^2}{dx^2} + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{10}x^4$
   ($m=1$, stosujemy jednostki atomowe ) zamierzamy ocenić wartości liczbowe trzech najniżej położonych poziomów energetycznych ($E_0$, $E_1$ oraz $E_2$ ) przy pomocy rachunku zaburzeń pierwszego rzędu. W tym celu obliczono całki z funkcjami $\psi_0^{(0)}$ , $\psi_1^{(0)}$ oraz $\psi_2^{(0)}$ oscylatora harmonicznego (niezaburzonego) otrzymując :
   $< \psi_0^{(0)} \vert \hat{x^4} \psi_0^{(0)} > = \frac{3}{4}$     , $< \psi_1^{(0)} \vert \hat{x^4} \psi_1^{(0)} > = \frac{15}{4}$     , $< \psi_2^{(0)} \vert \hat{x^4} \psi_2^{(0)} > = \frac{39}{4}$
   $< \psi_0^{(0)} \vert \hat{x^4} \psi_1^{(0)} > = 0$     , $< \psi_0^{(0)} \vert \hat{x^4} \psi_2^{(0)} > = \frac{3}{\sqrt{2}}$     , $< \psi_1^{(0)} \vert \hat{x^4} \psi_2^{(0)} > = 0$

   Który z podanych zestawów energii przedstawia sumę energii oscylatora harmonicznego i poprawki pierwszego rzędu według rachunku zaburzeń :
   a) $E_0^{(0)}+E_0^{((1)}$ = 0.575, $E_1^{(0)}+E_1^{(1)}$ = 1.875, $E_2^{(0)}+E_2^{(1)}=3.475$
   b) $E_0^{(0)}+E_0^{((1)}$ = 0.425, $E_1^{(0)}+E_1^{(1)}$ = 1.125, $E_2^{(0)}+E_2^{(1)}=1.525$
   c) $E_0^{(0)}+E_0^{((1)}$ = 0.575, $E_1^{(0)}+E_1^{(1)}$ = 1.125, $E_2^{(0)}+E_2^{(1)}=3.475$
   d) $E_0^{(0)}+E_0^{((1)}$ = 0.575, $E_1^{(0)}+E_1^{(1)}$ = 1.875, $E_2^{(0)}+E_2^{(1)}=1.525$

2. Dla oscylatora anharmonicznego opisanego w pkt. 1 możemy ocenić energię $E_0$ i funkcję $\psi_0$ stanu podstawowego przy pomocy metody Ritza stosując różne funkcje próbne $\phi_m, m=r,s,t,u,v$ :
   $\phi_r = \frac{1}{\sqrt{1+p^2}} (\psi_0^{(0)}+p\psi_1^{(0)})$, $p\in\mbox{\boldmath$R$}$     ; $\phi_s = \frac{1}{\sqrt{1+p^2}} (\psi_0^{(0)}+p\psi_2^{(0)})$, $p\in\mbox{\boldmath$R$}$
   $\phi_t = \psi_0^{(0)}$     ; $\phi_u = \psi_1^{(0)}$     ; $\phi_v = \psi_2^{(0)}$
   gdzie $\psi_k^{(0)}, k=0,1,2$ są funkcjami własnymi oscylatora harmonicznego. Dla każdej z funkcji próbnych $\phi_m, m=r,s,t,u,v$ obliczamy wartość średnią hamiltonianu $\hat{H}$ i oznaczamy odpowiednio $\epsilon_m, m=r,s,t,u,v$ (z funkcjami $\phi_r$ oraz $\phi_s$ obliczamy takie $p$, aby uzyskać $min \quad \epsilon_r(p)$ oraz $min \quad \epsilon_s(p)$. Czy prawdziwe są relacje :
   a) $\epsilon_s < E_0$      b) $\epsilon_r = \epsilon_t$      c) $\epsilon_t > \epsilon_u$      d) $\epsilon_u > \epsilon_v$

3. Wykorzystując metodę Ritza do oceny energii stanu podstawowego oscylatora anharmonicznego (poprzedni pkt.2) z funkcją $\phi_s$ należy otrzymać wartości własne macierzy $\mbox{\boldmath$H$} = (h_{ij}), h_{ij} = < \psi_i^{(0)} \vert \hat{H} \psi_j^{(0)} >$ , $i,j = 0,2$ :
   a) $\left( \begin{array}{rr} \frac{2.3}{4} & \frac{0.3}{\sqrt{2}} \\ \frac{0.3}{\sqrt{2}} & \frac{13.9}{4} \\ \end{array} \right)$      b) $\left( \begin{array}{rr} \frac{3}{4} & 0 \\ 0 & \frac{15}{4} \\ \end{array} \right)$      c) $\left( \begin{array}{rr} \frac{3}{4} & \frac{3}{\sqrt{2}} \\ \frac{3}{\sqrt{2}} & 0 \\ \end{array} \right)$      d) $\left( \begin{array}{rr} \frac{1.5}{4} & \frac{0.3}{\sqrt{2}} \\ \frac{0.3}{\sqrt{2}} & \frac{3.9}{4} \\ \end{array} \right)$

4. Załóżmy, że dla oceny funkcji falowej (i energii) stanu podstawowego atomu wodoru wykorzystujemy następującą funkcję próbną : $\phi (r,\alpha) = (\frac{2\alpha}{\pi })^{\frac{3}{4}} e^{- \alpha r^2}$.
   Załóżmy ponadto, że hamiltonian atomu wodoru, w jednostkach atomowych,
   ma postać : $\hat{H} = \hat{T} + \hat{V} = -\frac{1}{2}\Delta - \frac{1}{r}$
   Gdy obliczymy wartość średnią operatorów $\hat{T}$ oraz $\hat{V}$ z funkcją $\phi(r,\alpha)$, otrzymamy :
   $< \hat{T} > = \frac{3}{2} \alpha$ ,      $< \hat{V} > = - \sqrt{\frac{8 \alpha}{\pi}}$
   Wykorzystując następnie metodę wariacyjną otrzymamy energię $\epsilon_1$, która przybliża wartość energii $E_1$ stanu podstawowego atomu wodoru (w jednostkach atomowych) :
   a) $\epsilon_1 = \frac{8}{9\pi}$,      b) $\epsilon_1 = - \frac{8}{9\pi}$,      c) $\epsilon_1 = - \frac{4}{3\pi}$,      d) $\epsilon_1 = - \frac{3\pi}{4}$

5. Załóżmy, że podział hamiltonianu $\hat{H}$ na część niezaburzoną $\hat{H_0}$ oraz zaburzenie $\hat{H'}$ jest następujący: $\hat{H} = \hat{H_0} + H'$, przy czym znamy wszystkie funkcje własne $\psi_n^{(0)}$i wartości własne $E_n^{(0)}$ hamiltonianu $\hat{H_0}$. Energie i funkcje własne hamiltonianu $\hat{H}$ wyrażamy w postaci (po ustaleniu wartości parametru zaburzenia $\lambda = 1$ ) :
   $E_n = E_n^{(0)} + E_n^{(1)} + E_n^{(2)} + E_n^{(3)} + ...$
   $\psi_n = \psi_n^{(0)} + \psi_n^{(1)} + \psi_n^{(2)} + \psi_n^{(3)} + ...$
   Jakie jest prawidłowe wyrażenie na $E_n^{(1)}$ :
   a) $E_n^{(1)} = <\psi_n^{(0)} \vert \hat{H'} \psi_n^{(0)} >$      b) $E_n^{(1)} = <\psi_n^{(1)} \vert \hat{H'} \psi_n^{(0)} >$
   c) $E_n^{(1)} = <\psi_n^{(0)} \vert \hat{H'} \psi_n^{(1)} >$      d) $E_n^{(1)} = <\psi_n^{(1)} \vert \hat{H'} \psi_n^{(1)} >$

6. Jakie jest prawidłowe wyrażenie na $E_n^{(2)}$ (symbole wg pkt. 5) :
   a) $E_n^{(2)} = <\psi_n^{(0)} \vert \hat{H'} \psi_n^{(1)} >$      b) $E_n^{(2)} = <\psi_n^{(1)} \vert \hat{H'} \psi_n^{(2)} >$
   c) $E_n^{(2)} = <\psi_n^{(2)} \vert \hat{H'} \psi_n^{(1)} >$      d) $E_n^{(2)} = <\psi_n^{(2)} \vert \hat{H'} \psi_n^{(0)} >$

7. Jakie jest prawidłowe wyrażenie na $E_n^{(3)}$ (symbole wg pkt. 5) :
   a) $E_n^{(3)} = <\psi_n^{(1)} \vert \hat{H'} \psi_n^{(1)} > - E_n^{(1)} <\psi_n^{(1)} \vert \psi_n^{(1)} >$
   b) $E_n^{(3)} = <\psi_n^{(2)} \vert \hat{H'} \psi_n^{(2)} > - E_n^{(2)} <\psi_n^{(1)} \vert \psi_n^{(1)} >$
   c) $E_n^{(3)} = <\psi_n^{(0)} \vert \hat{H'} \psi_n^{(3)} > - E_n^{(1)} <\psi_n^{(2)} \vert \psi_n^{(2)} >$
   d) $E_n^{(3)} = <\psi_n^{(3)} \vert \hat{H'} \psi_n^{(0)} > - E_n^{(1)} <\psi_n^{(2)} \vert \psi_n^{(1)} >$

8. Dla cząstki w jednowymiarowym pudle potencjału ( tylko na odcinku
   $0 < x < \pi$) wybieramy funkcję próbną $\phi(x) = \sqrt{\frac{3}{\pi^3}}x$. Obliczamy wartość średnią hamiltonianu $\hat{H} = -\frac{1}{2}\frac{d^2}{dx^2}$ z funkcją $\phi(x)$ i zauważamy, że wartość ta jest równa zero, czyli mniej, niż energia stanu podstawowego, która jest dodatnia.
   Czy prawdziwe jest objaśnienie tego ciekawego fenomenu :
   a) istnieją wyjątki od zasady wariacyjnej i tu mamy przykład
   b) funkcja próbna powinna znikać na krańcach przedziału, tj. $\phi(0)=0$ oraz $\phi(\pi) = 0$, czyli wybrano niewłaściwą funkcję próbną
   c) funkcja próbna nie musi znikać na krańcach przedziału, ale powinna być całkowalna z kwadratem na odcinku $(0,\pi)$, co jednak może w niektórych przypadkach doprowadzić do zerowania się wartości średniej hamiltonianu
   d) wybrano niewłaściwą funkcję próbną, gdyż nie jest ona dwukrotnie różniczkowalna, a więc nieprawidłowo obliczono wartość średnią hamiltonianu.