1. Załóżmy, że mamy cztery trójelektronowe funkcje falowe podane niżej. Która z nich spełnia wymagania tzw. zakazu Pauliego :
   a) $\Phi(1,2,3) = \psi(x_1,y_1,z_1)\alpha(\sigma_1) \psi(x_2,y_2,z_2)\beta(\sigma_2) \phi(x_3,y_3,z_3)\alpha(\sigma_3)$
   b) $\Phi(1,2,3) = \psi(x_1,y_1,z_1)\alpha(\sigma_1) \phi(x_2,y_2,z_2)\beta(\sigma_2) \phi(x_3,y_3,z_3)\beta(\sigma_3)$
   c) $\Phi(1,2,3) = \psi(x_1,y_1,z_1)\beta(\sigma_1) \psi(x_2,y_2,z_2)\beta(\sigma_2) \phi(x_3,y_3,z_3)\alpha(\sigma_3)$
   d) $\Phi(1,2,3) = \psi(x_1,y_1,z_1)\beta(\sigma_1) \psi(x_2,y_2,z_2)\alpha(\sigma_2) \psi(x_3,y_3,z_3)\alpha(\sigma_3)$
   gdzie $x,y,z,\sigma$ - wspólrzedne elektronów, zaś $\alpha, \beta$ - funkcje spinowe.

2. Niech dana będzie następująca funkcja dwóch zmiennych $x, y$ :
   $f(x,y) = \left\vert \begin{array}{rr} e^{x} & e^{y} \\ sin(x) & sin(y) \\ \end{array} \right\vert$ = $e^{x}sin(y) - e^{y}sin(x)$
   Obliczamy następujące całki oznaczone (zakładamy, że ich wartości są skończone) :
   $C_1 = \int_0^1 dx \int_0^1 dy \quad f(x,y) \frac{d}{dx} f(x,y)$      $C_2 = \int_0^1 dx \int_0^1 dy \quad f(x,y) \frac{d}{dy} f(x,y)$
   $C_3 = \int_0^1 dx \int_0^1 dy \quad f(x,y) \frac{d}{dx} f(y,x)$      $C_4 = \int_0^1 dx \int_0^1 dy \quad f(x,y) \frac{d}{dy} f(y,x)$
   Czy prawdziwe są równości (można je sprawdzić bez jawnego obliczenia
   całek podwójnych) :
   a) $C_1 = - C_2$      b) $C_3 = - C_1$      c) $C_4 = C_1$      d) $C_3 = - C_4$

3. Niech dana będzie następująca funkcja czterech zmiennych $x_1, x_2, x_3, x_4$ :
   $f(x_1,x_2,x_3,x_4)$ = $\left\vert \begin{array}{rr} x_1 & x_2 \\ x_3 & x_4 \\ \end{array} \right\vert$ = $x_1x_4 - x_2x_3$
   Obliczamy następujące całki oznaczone (zakładamy, że są skończone) :
   $C_1 = \int \int \int \int \quad f(x_1,x_2,x_3,x_4)f(x_1,x_2,x_3,x_4) \quad dx_1dx_2dx_3dx_4$
   $C_2 = \int \int \int \int \quad f(x_1,x_2,x_3,x_4)f(x_3,x_4,x_1,x_2) \quad dx_1dx_2dx_3dx_4$
   $C_3 = \int \int \int \int \quad f(x_1,x_2,x_3,x_4)f(x_2,x_1,x_4,x_3) \quad dx_1dx_2dx_3dx_4$
   $C_4 = \int \int \int \int \quad f(x_2,x_1,x_4,x_3)f(x_2,x_1,x_4,x_3) \quad dx_1dx_2dx_3dx_4$
   $C_5 = \int \int \int \int \quad f(x_3,x_4,x_1,x_2)f(x_2,x_1,x_4,x_3) \quad dx_1dx_2dx_3dx_4$
   Czy prawdziwe są równości :
   a) $C_1 = C_3$      b) $C_2 = C_4$      c) $C_3 = C_5$      d) $C_4 = C_5$

4. Załóżmy, że podział hamiltonianu $\hat{H}$ na część niezaburzoną $\hat{H_0}$ oraz zaburzenie $\hat{H'}$ jest następujący: $\hat{H} = \hat{H_0} + \hat{H'}$, przy czym znamy wszystkie funkcje własne $\psi_k^{(0)}(x)\psi_n^{(0)}(y)\psi_m^{(0)}(z)$ i wartości własne $E_{knm}^{(0)}=k+n+m+\frac{3}{2}$ hamiltonianu
   $\hat{H_0}= -\frac{1}{2}\Delta + \frac{1}{2}(x^2+y^2+z^2)$. Jak widać, jest to zaburzony trójwymiarowy oscylator harmoniczny, gdzie liczby $k,n,m$ przyjmują wartości ze zioru $\{0,1,2,3,....\}$. Jeżeli operator $\hat{H'}$ jest niezerowy, to niektóre poziomy energetyczne oscylatora harmonicznego mogą ulec rozszczepieniu. Jeżeli wybierzemy $E^{(0)} = \frac{7}{2}$ (jednostki atomowe), to liczba poziomów po rozszczepieniu wynosić może :
   a) nie więcej, niż 6     b) ponad 12      c) ponad 6, ale mniej niż 12 $\quad$
   d) 1, tzn. nie rozszczepi się, ponieważ poziom ten nie jest zdegenerowany

5. Aby można było zinterpretować elektronowe widmo absorpcyjne jonu $Ni(H_2O)_6^{2+}$ w hydracie siarczanu niklu $NiSO_4 \cdot 7 H_2O$ zakłada się, że przejścia elektronowe zachodzą pomiędzy poziomami $d$ niklu, rozszczepionymi pod wpływem pola elektrycznego cząsteczek wody. Zakłada się również, że w jonie $Ni^{2+}$ (bez pola ligandów) 8 elektronów opisać można przy pomocy orbitali $3d$. Liczba rozszczepionych poziomów $d$ jonu $Ni^{2+}$ pod wpływem ligandów wynosi :
   a) dokładnie 8      b) więcej, niż 6      c) mniej, niż 6      d) dokładnie 6, tzn. tyle, ile wynosi liczba cząsteczek wody.

6. Operatory spinowe spełniają następujące relacje (w jednostkach atomowych) :
   $\hat{S^2} \alpha = \frac{3}{4}\alpha \quad$ $\hat{S_z} \alpha = \frac{1}{2}\alpha \quad$ $\hat{S_x} \alpha = \frac{1}{2}\beta \quad$ $\hat{S_y} \alpha = \frac{i}{2}\beta$
   $\hat{S^2} \beta = \frac{3}{4}\beta \quad$ $\hat{S_z} \beta = - \frac{1}{2}\beta \quad$ $\hat{S_x} \beta = \frac{1}{2}\alpha \quad$ $\hat{S_y} \beta = - \frac{i}{2}\alpha$
   Ponadto, spełnione są relacje komutacyjne :
   $\left[ \hat{ S_x},\hat{S_y} \right] = i \hat{S_z}, \quad$ $\left[ \hat{ S_y},\hat{S_z} \right] = i \hat{S_x}, \quad$ $\left[ \hat{ S_z},\hat{S_x} \right] = i \hat{S_y}, \quad$ , gdzie $i^2=-1$
   Czy prawidłowe są wyniki działania sum iloczynów operatorów na funkcje spinowe :
   a) $(\hat{S_x}\hat{S_y}-\hat{S_y}\hat{S_x}) \alpha = \frac{i}{2}\alpha \quad$ b) $(\hat{S_y}\hat{S_z}-\hat{S_z}\hat{S_y}) \beta = - \frac{i}{2}\alpha \quad$ c) $(\hat{S_z}\hat{S_x}-\hat{S_x}\hat{S_z}) \alpha = \frac{1}{2}\beta \quad$ d) $(\hat{S_x}\hat{S_y}-\hat{S_y}\hat{S_x}) \beta = \frac{i}{2}\beta \quad$

7. Dla atomu helu $He$ w stanie podstawowym wybieramy funkcję próbną $\Phi(1,2)$
   (1,2-numerują współrzędne elektronów) :
   $\Phi(1,2) = e^{-p r_1^2 - p r_2^2 - q r_{12}^2 }$ $\frac{1}{\sqrt{2}}$ ( $\alpha(1)\beta(2) - \beta(1)\alpha(2)$ ) ,          $p \geq 0, q \geq 0$,
   gdzie : $r_1 = \sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2}, \quad$ $r_2 = \sqrt{x_2^2 + y_2^2 + z_2^2}, \quad$ są odległościami elektron-jądro, zaś $r_{12} = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 + (z_1 - z_2 )^2}$ oznacza odległość międzyelektronową. $\alpha, \beta$ są funkcjami spinowymi. Czy prawdziwe są zdania:
   a) $\Phi(2,1) = - \Phi(1,2)$ tylko wtedy, gdy $q=0$
   b) postać $\Phi(1,2)$ odpowiada tzw. przybliżeniu jednoelektronowemu do funkcji falowej dwuelektronowej tylko wtedy, gdy $q=0$
   c) postać $\Phi(1,2)$ odpowiada tzw. przybliżeniu jednoelektronowemu do funkcji falowej dwuelektronowej tylko wtedy, gdy $q > 0$
   d) $\Phi(2,1) = \Phi(1,2)$ , jeżeli $q=0$

8. Załóżmy, że operator rzutu spinu całkowitego na oś $Z$ ma postać sumy operatorów jednoelektronowych : $\hat{S_z}(1,2) = \hat{S_z}(1) + \hat{S_z}(2)$ . Załóżmy również, że mamy dwie różne funkcje spinowe dwuelektronowe:
   $g_{+} = \frac{1}{\sqrt{2}} ( \alpha(1)\beta(2) + \beta(1)\alpha(2) )$               $g_{-} = \frac{1}{\sqrt{2}} ( \alpha(1)\beta(2) - \beta(1)\alpha(2) )$
   Prawidłowy wynik działania operatora $\hat{S_z}(1,2)$ na te funkcje jest następujący :
   a) $\hat{S_z}(1,2) g_{+} = 0 \quad$ b) $\hat{S_z}(1,2) g_{+} = g_{+} \quad$ c) $\hat{S_z}(1,2) g_{+} = g_{-} \quad$ d) $\hat{S_z}(1,2) g_{-} = g_{+}$