1. W rachunku zaburzeń Rayleigha-Schrödingera (RS) przedstawiamy hamiltonian układu w postaci $\hat{H} = \hat{H}^o + \hat{H}'$, a funkcje i wartości własne $\hat{H}$ i $\hat{H}^o$ oznaczamy, odpowiednio, przez $\psi_n$ i $E_n$, oraz $\psi^{(0)}_n$ i $E^{(0)}_n$ ( $n = 1, 2, \ldots$). Który z poniższych warunków nie jest prawdziwy w rachunku zaburzeń RS?
   
   a) $\langle \psi^{(0)}_n \vert \psi_n \rangle = 1$,      b) $\langle \psi_n \vert \psi_n \rangle = 1$,      c) $\langle \psi^{(0)}_n \vert \psi^{(0)}_n \rangle = 1$,     
   d) Znamy rozwiązania równania $\hat{H}^o \psi^{(0)}_n = E^{(0)}_n \psi^{(0)}_n$.
2. $\hat{H}$ jest hamiltonianem układu, $E_0$ jego najmniejszą wartością własną, a $\phi$ jest pewną funkcją falową. Zasada wariacyjna jest równoważna stwierdzeniu, że:
   
   a) $\langle \phi \vert \hat{H} \phi \rangle \geq E_0 \langle \phi \vert \phi \rangle$,      b) $\langle \phi \vert \hat{H} \phi \rangle \leq E_0 \langle \phi \vert \phi \rangle$,      c) $\langle \phi \vert \hat{H} \phi \rangle = E_0$, jeśli $\langle \phi \vert \phi \rangle = 1$,      d) $\langle \phi \vert \hat{H} \phi \rangle \geq 0$, jeśli $\langle \phi \vert \phi \rangle = 1$.
3. Oznaczenia jak w zad. 2. Funkcja próbna $\phi[c]$ zależy od rzeczywistego parametru $c$. Metoda wariacyjna polega na:
   
   a) znalezieniu optymalnej wartości $c_o$, takiej, że $\hat{H} \phi[c_o] = E_0 \phi[c_o]$,     
   b) obliczeniu wartości $\mathcal{E}(c)$,     
   c) znalezieniu optymalnej wartości $c_o$, takiej, że $\mathcal{E}(c_o) = E_0$,     
   d) znalezieniu optymalnej wartości $c_o$, takiej, że $\mathcal{E}(c_o) =$ minimum,
   gdzie $\mathcal{E}(c) = \frac{\langle \phi[c] \vert \hat{H} \phi[c] \rangle}{ \langle \phi[c] \vert \phi[c] \rangle}$
4. Która z poniższych funkcji próbnych $\phi[c]$ da najlepszy wynik w metodzie wariacyjnej zastosowanej do opisu atomu wodoru:
   
   a) $e^{-cr^2}$,     b) $e^{-cr}$,     c) $\cos(cr)$,     d) $\sin(cr)$,
   gdzie $r$ jest współrzędną radialną położenia elektronu ($r \geq 0$).
5. Oznaczenia jak w zad. 1. Przedstawienie: $\hat{H}(\lambda) = \hat{H}^o + \lambda \hat{H}'$, gdzie $\lambda \in [0,1]$, służy:
   
   a) znalezieniu takiego $\lambda$, że potrafimy rozwiązać równanie $\hat{H}(\lambda) \psi_n(\lambda) = E_n(\lambda) \psi_n(\lambda)$,     
   b) rozwinięciu $\psi^{(0)}_n(\lambda)$ i $E^{(0)}_n(\lambda)$ w szeregi Taylora w otoczeniu $\lambda = 0$,     
   c) przejściu do granicy $\lambda \rightarrow 0$ w celu znalezienia poprawek do energii,     
   d) znalezieniu takiego $\lambda$, by operator $\lambda \hat{H}'$ był mały.
6. Oznaczenia jak w zad. 1. Które z poniższych stwierdzeń jest nieprawdziwe?
   
   a) $\langle \psi^{(0)}_n \vert \hat{H} \psi^{(0)}_n \rangle = E^{(0)}_n + E^{(1)}_n$,     b) Do wyznaczenia $E^{(1)}_n$ wystarczy znajomość $\psi^{(0)}_n$,     c) $E^{(1)}_n = 0$, jeli $\psi^{(1 )}_n = 0$,     d) $\langle \psi^{(0)}_m \vert \hat{H}^{(0)} \psi^{(0)}_n \rangle = 0$ dla $m \neq n$.
7. Oznaczenia jak w zad. 1. Które z poniższych stwierdzeń jest nieprawdziwe?
   
   a) $\langle \psi^{(0)}_n \vert \hat{H}' \psi^{(1)}_n \rangle = E^{(2)}_n$,      b) $E^{(2)}_n = 0$, jeli $\psi^{(2)}_n = 0$,
   c) $E^{(2)}_n = - \sum_{k \neq n} \frac{ \langle \psi^{(0)}_n \vert \hat{H}' \psi^... ...angle \psi^{(0)}_k \vert \hat{H}' \psi^{(0)}_n \rangle} {E^{(0)}_k - E^{(0)}_n}$,     
   d) $E^{(2)}_1 \leq 0$, jeli $E^{(0)}_1 < E^{(0)}_n$ dla $n > 1$.

8. Oznaczenia jak w zad. 2 i 3. Równanie      $\frac{d \mathcal{E}(c)}{dc}\vert _{c = c_o} = 0$     określa:
   
   a) warunek konieczny, by $\phi[c_o]$ była funkcją własną $\hat{H}$,
   b) warunek wystarczajcy, by $\mathcal{E}(c_o) =$ minimum,
   c) warunek konieczny, by $\phi[c_o]$ dała się znormalizować.
   d) warunek konieczny, by $\mathcal{E}(c_o) =$ minimum.