\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage{polish}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{a4wide}
%\usepackage{amslatex}

\newcommand {\bm}[1]{\mbox{\boldmath$#1$}}
\newcommand {\Ds}{\displaystyle}
\newcommand {\Ts}{\textstyle}
\newcommand {\Ss}{\scriptstyle}
\newcommand {\SSs}{scriptscriptstyle}

\begin{document}

\title{Chemia kwantowa --- wst"ep matematyczny}
\author{Leszek Stolarczyk}
\date{\today}
\maketitle

\section{Liczby zespolone} \label{ch:lzesp}

Zbi"or liczb rzeczywistych oznaczamy przez ${\bf R}$, a zbi"or liczb 
zespolonych przez ${\bf C}$. Liczba zespolona $z \in {\bf C}$ mo"re by"c zapisana w postaci
\begin{equation} \label{eq:a+bi}
z = a + bi \; , \quad \mbox{gdzie} \quad a, b \in {\bf R} \; ,
\end{equation}
a $i$ jest tzw. jednostk"a urojon"a, spe"lniaj"ac"a warunek
\begin{equation}\label{eq:i}
i^2 = -1 \; .
\end{equation}
Potocznie zapisuje si"e: $i = \sqrt{-1}$.

\begin{enumerate}

\item Dla ka"rdej liczby zespolonej $z$ danej w postaci 
(\ref{eq:a+bi})  definiuje si"e liczb"e zespolon"a sprz"e"ron"a wzgl"edem $z$:
\begin{equation} \label{eq:z*}
z^* = a - bi \; .
\end{equation}
Spe"lnione jest:
\begin{equation} \label{eq:zz*}
zz^* = (a +bi) (a - bi) = a^2 + b^2  \; ,
\end{equation}
a wi"ec $zz^* \in {\bf R}$ i $zz^* \geq 0$. Oczywi"scie, $zz^* = 0$ 
wtedy i tylko wtedy, gdy $z = 0 + 0i = 0$.
\item Modu"l liczby zespolonej $z$ definiuje si"e jako
\begin{equation} \label{eq:modz}
|z| = \sqrt{zz^*} = \sqrt{a^2 + b^2}  \; .
\end{equation}
Z powy"rszej definicji wynika, "re $|z|$ jest liczb"a rzeczywist"a 
nieujemn"a. $|z| = 0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $z = 0$.
\item Dla ka"rdej liczby zespolonej $z$ danej w postaci 
(\ref{eq:a+bi})  definiuje si"e \\
-- cz"e"s"c rzeczywist"a $z$:
\begin{equation} \label{eq:Rez}
\mbox{Re}z = \frac{1}{2} (z + z^*) = a \; ,
\end{equation}
-- cz"e"s"c urojon"a $z$:
\begin{equation} \label{eq:Imz}
\mbox{Im}z = \frac{-i}{2} (z - z^*) = b \; .
\end{equation}
Re$z$ i Im$z$ s"a wi"ec liczbami rzeczywistymi.
\item Dzia"lania arytmetyczne w zbiorze liczb zespolonych: dla $z_1 = 
a + b i$ i 
$z_2 =c + di$ okre"sla si"e:\\
-- sum"e:
\begin{equation} \label{eq:z1+z2}
z_1 + z_2 = (a+ bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i \; ,
\end{equation}
-- iloczyn:
\begin{equation} \label{eq:z1z2}
z_1 z_2 = (a+ bi) (c + di) = ac + bci + adi + bdi^2 = (ac - bd) + (bc 
+ ad)i \; .
\end{equation}
Oba dzia"lania s"a przemienne. Dla ka"rdej liczby zespolonej $z \neq 
0$ mo"rna skonstruowa"c odwrotno"s"c $z^{-1}$,
\begin{equation} \label{eq:z-1}
z^{-1} =  \frac{z^*}{zz^*} = \frac{a - bi }{ a^2 + b^2} \; ,
\end{equation}
tak, "re zachodzi
\begin{equation} \label{eq:zz-1}
zz^{-1} = 1 \; .
\end{equation}
Dzia"lania arytmetyczne w zbiorze liczb zespolonych s"a wi"ec 
analogiczne do dzia"la"n w zbiorze liczb rzeczywistych.
\item Definicja liczby sprz"e"ronej zespolonej (\ref{eq:z*}), 
zastosowana do sumy i iloczynu liczb zespolonych, daje
\begin{equation} \label{eq:(z1+z2)*}
(z_1 + z_2)^* = z_1^* + z_2^* \; ,
\end{equation}
\begin{equation} \label{eq:(z1z2)*}
(z_1 z_2)^* = z_1^* z_2^*\; .
\end{equation}
Tak"re w zastosowaniu do obliczania odwrotno"sci otrzymujemy
\begin{equation} \label{eq:z(-1)*}
(z^{-1})^* = (z^*)^{-1} \; .
\end{equation}
\item Dowodzi si"e, "re 
\begin{equation} \label{eq:ephi}
e^{\phi i} = \cos\phi + i \sin\phi \; , \quad \mbox{gdzie} \quad \phi 
\in {\bf R} \; ,
\end{equation}
\item Liczba zespolona $z \neq 0$ mo"re by"c zapisana w tzw. postaci 
wyk"ladniczej,
\begin{equation} \label{eq:exp}
z = r \, e^{\phi i}  \; , 
\end{equation}
oraz w r"ownowa"rnej postaci trygonometrycznej:
\begin{equation} \label{eq:tryg}
z = r\cos\phi + i \, r \sin\phi \; , 
\end{equation}
gdzie $r$ jest liczb"a rzeczywist"a nieujemn"a, a $\phi \in [0, 
2\pi)$.  "Latwo sprawdzi"c, "re
\begin{equation} \label{eq:rmodz}
r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}  \; .
\end{equation} 
Wielko"s"c k"atowa $\phi$ nazywana jest argumentem liczby $z$. Jest 
ona wyznaczona jako rozwi"azanie uk"ladu r"owna"n
\begin{equation} \label{eq:argz}
   \begin{array} {rcl}
\cos\phi & = & \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} \; , \\
\sin\phi  & = & \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \; , 
   \end{array}
\end{equation}
nale"r"ace do przedzia"lu $[0, 2\pi)$. Dla $z = 0$ mamy $r = 0$, a 
warto"s"c $\phi$ jest nieokre"slona. \\
  Postacie: wyk"ladnicza i trygonometryczna liczby zespolonej $z$ s"a 
wygodne przy obliczaniu pot"eg $z$ o dowolnym wyk"ladniku ca"lkowitym (dodatnim lub ujemnym), oraz u"lamkowym (wyci"aganie pierwi
astk"ow). W szczeg"olno"sci, odwrotno"s"c liczby $z$, patrz r"own. 
(\ref{eq:z-1}), przedstawi"c mo"rna w postaciach:
\begin{equation} \label{eq:z-1(2)}
z^{-1} = \frac{1}{r} \; e^{-\phi i} = \frac{1}{r} \, \cos\phi - 
\frac{i}{r} \, \sin\phi \; , 
\end{equation}
kt"ore wynikaj"a z r"own. (\ref{eq:ephi}) i (\ref{eq:exp}).
\item Rozwa"rmy wielomian stopnia $n$ zmiennej zespolonej $z$, o 
wsp"o"lczynnikach zespolo\-nych:
\begin{equation} \label{eq:Wn(z)}
W^{(n)}(z) = a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + \ldots + a_0 \; .
\end{equation}
Wa"rnym problemem jest okre"slenie, czy taki wielomian ma pierwiastki 
(rozwi"azania r"ownania $W^{(n)}(z) = 0$). Tzw. podstawowe twierdzenie algebry glosi, "ze wielomian (\ref{eq:Wn(z)}) ma dok"ladni
e $n$ pierwiastk"ow, $z_1, z_2, \ldots , z_n$, (niekoniecznie 
r"o"rnych), tak, "re mo"rliwe jest przedstawienie iloczynowe:
\begin{equation} \label{eq:Wn(z)(2)}
W^{(n)}(z) = a_n (z - z_1)(z - z_2) \cdots (z - z_n) \; .
\end{equation}
Twierdzenie to nie zachodzi dla wielomian"ow zmiennej rzeczywistej. 
Np. wielomiany $\quad W^{(2)}(x) = x^2 + 1 \quad$ i $\quad W^{(4)}(x) = x^4 + 4 x^2 + 3 \quad$ nie maj"a "radnych pierwiastk"ow rze
czywistych.
\item \label{it:RinC} Liczby zespolone spe"lniaj"ace warunek
\begin{equation} \label{eq:z*=z}
z^* = z \; ,
\end{equation}
(czyli liczby zespolone, kt"orych cz"e"s"c urojona Im$z = 0$) maj"a 
wszystkie w"lasno"sci arytmetyczne liczb rzeczywistych. Wygodnie b"edzie wi"ec uto"rsamia"c te liczby z liczbami rzeczywistymi. W t
ym sensie b"edziemy dalej uwa"ra"c zbi"or liczb rzeczywistych {\bf R} 
za podzbi"or zbioru liczb zespolonych {\bf C} (co zapisuje si"e w postaci {\bf R }$\subset$ {\bf C}), a r"ownanie (\ref{eq:z*=z})
 za warunek definiuj"acy liczb"e rzeczywist"a.
\item Liczby zespolone spe"lniaj"ace warunek
\begin{equation} \label{eq:z*=-z}
z^* = -z \; ,
\end{equation}
(czyli liczby zespolone, kt"orych cz"e"s"c rzeczywista Re$z = 0$) 
nazywane s"a liczbami urojonymi. Liczby te mo"rna zapisa"c w postaci $z = bi$, gdzie $b$ jest liczb"a rzeczywist"a. Suma dw"och liczb
 urojonych jest liczb"a urojon"a, ale iloczyn dw"och liczb urojonych 
jest zawsze liczb"a rzeczywist"a (ujemn"a).

\end{enumerate}

\newpage

\section{Macierze} \label{ch:macierze}

Macierz"a \bm{A} o wymiarach $M \times N$ nazywa si"e zbi"or pewnych 
element"ow $\{ A_{mn} \}_{m=1, n=1}^{m=M, n=N}$, u"lo"ronych w formie dwuwymiarowej tablicy:
\begin{equation} \label{eq:A(MN)}
\bm{A} = \left(
  \begin{array} {cccc}
     A_{11}   &  A_{12}  &   \ldots &  A_{1N}  \\
     A_{21}   &  A_{22}  &   \ldots &  A_{2N}  \\
     \vdots   & \vdots   & \vdots  & \vdots     \\
      A_{M1} &  A_{M2} &   \ldots &  A_{MN}  
  \end{array}
      \right) \; .
\end{equation}
Gdy $N \neq M$, macierz tak"a nazywamy macierz"a prostok"atn"a, a gdy 
$N = M$, macierz"a kwadratow"a. Pierwszy wska"znik, $m = 1, 2, \ldots, M$, numeruje wiersze macierzy, a drugi wska"znik, $n = 1, 
2, \ldots, N$, numeruje kolumny macierzy. Gdy $M = 1$, macierz nazywa 
si"e macierz"a (jedno)wierszow"a, a gdy $N = 1$, macierz"a (jedno)kolumnow"a; takie macierze b"ed"a dalej oznaczane ma"lymi liter
ami pogrubionymi, np.
\begin{equation} \label{eq:a(M)}
\bm{a} = \left(
  \begin{array} {c}
     a_1      \\
     a_2      \\
     \vdots \\
      a_M 
  \end{array}
      \right) \; .
\end{equation}
oznacza macierz kolumnow"a, gdzie dla wygody pomini"eto drugi 
wska"znik (zawsze r"owny $1$), np. $a_{11} = a_1, \; a_{21} = a_2 $, itd. Elementy macierzy, $A_{mn}$, s"a zwykle liczbami nale"r"acymi d
o pewnego zbioru {\bf K}, gdzie {\bf K} $=$ {\bf R} lub {\bf K} $=$ 
{\bf C}. Zgodnie z uwag"a \ref{it:RinC}  roz\-dzia\-"lu \ref{ch:lzesp} przyjmujemy, "re {\bf R }$\subset$ {\bf C}, i b"edziemy trak
towa"c przypadek {\bf K} $=$ {\bf R} jako przypadek szczeg"olny 
sytuacji og"olnej {\bf K} $=$ {\bf C}. 

\begin{enumerate}
\item R"owno"s"c dwu macierzy, $\bm{A} = \bm {B}$, zachodzi, gdy 
maj"a te same wymiary i ich odpowiednie elementy s"a r"owne:
\begin{equation} \label{eq:A=B}
A_{mn} = B_{mn} \; .
\end{equation}
\item Dodawanie macierzy jest okre"slone dla macierzy o tych samych 
wymiarach $M \times N$:
\begin{equation} \label{eq:A+B}
\bm{C} = \bm{A} + \bm{B} \; ,
\end{equation}
gdy elementy macierzy \bm{C} wyznaczone s"a w postaci:
\begin{equation} \label{eq:A+B(2)}
C_{mn} = A_{mn} + B_{mn} \; .
\end{equation}
Dodawanie macierzy jest przemienne. Istnieje macierz zerowa \bm{O} (o 
elementach r"ow\-nych 0), taka, "ze dla dowolnej macierzy \bm{A}
\begin{equation} \label{eq:A+O}
 \bm{A} + \bm{O} = \bm{A} \; .
\end{equation}
Dla ka"rdej macierzy \bm{A} istnieje macierz przeciwna $-$\bm{A} (o 
elementach przeciwnych, r"ow\-nych $-A_{mn}$), tak, "re zachodzi
\begin{equation} \label{eq:A-A}
 \bm{A} + (- \bm{A}) = \bm{A} -\bm{A} = \bm{O} \; .
\end{equation}
Mo"rna te"r zdefiniowa"c mno"renie macierzy przez liczb"e:
\begin{equation} \label{eq:cA}
\bm{C} = c \bm{A} \; ,
\end{equation}
gdy elementy macierzy \bm{C} wyznaczone s"a w postaci:
\begin{equation} \label{eq:cA(2)}
C_{mn} = c A_{mn} \; .
\end{equation}
\item Niech \bm{A} jest macierz"a  o wymiarach $M \times K$, a  
\bm{B}  macierz"a  o wymiarach $K \times N$. Iloczynem tych macierzy nazywamy macierz \bm{C}  o wymiarach $M \times N$, 
\begin{equation} \label{eq:AB}
\bm{C} = \bm{A} \bm{B} \; ,
\end{equation}
kt"orej elementy oblicza si"e w spos"ob nast"epuj"acy:
\begin{equation}\label{eq:AB(2)}
C_{mn} = A_{m1} B_{1n} + A_{m2} B_{2n} + \ldots + A_{mK} B_{Kn} = 
\sum_{k=1}^{K} A_{mk} B_{kn} \; .
\end{equation}
Mo"rna powiedzie"c, "re element $C_{mn}$ powstaje w wyniku 
"`pomno"renia'' $m$-tego wiersza macierzy \bm{A} przez $n$-t"a kolumn"e macierzy \bm{B}.
\item Gdy macierze \bm{A}, \bm{B}  s"a macierzami kwadratowymi o 
wymiarach $M \times M$, ich iloczyny \bm{AB} i \bm{BA} s"a tak"re macierzami kwadratowymi o tych wymiarach i, naog"o"l, $\bm{AB} \neq 
\bm{BA}$. W zbiorze macierzy kwadratowych, opr"ocz dzia"la"n 
opisanych w p. 2, jest wi"ec okre"slone mno"renie (nieprzemienne). Z definicji dodawania (\ref{eq:A+B(2)}) i mno"renia macierzy (\ref{eq:A
B(2)}) wynika, "re zachodzi rozdzielno"s"c dodawania wzgl"edem 
mno"renia:
\begin{equation} \label{eq:(A+B)C}
  \begin{array} {ccc}
(\bm{A} + \bm{B}) \, \bm{C} & = & \bm{A} \bm{C} + \bm{B} \bm{C} \; , 
\\
\bm{C} \, (\bm{A} + \bm{B}) & = & \bm{C} \bm{A} + \bm{C} \bm{B} \; . 
  \end{array}
\end{equation}
\item Maj"ac dan"a macierz zespolon"a \bm{A} o wymiarach $M \times 
N$, mo"rna skonstruowa"c pewne macierze z ni"a zwi"azane:
  \begin{enumerate}
    \item Macierz zespolona sprz"e"rona $\bm{A}^* = 
\widetilde{\bm{A}}$, o takich samych wymiarach i o elementach sprz"e"ronych zespolonych,
\begin{equation}\label{eq:A*}
\widetilde{A}_{mn} =  A_{mn}^*  \; .
\end{equation}
\item Macierz transponowan"a $\bm{A}^T = \widetilde{\bm{A}}$, o 
wymiarach $N \times M$ i  elementach
\begin{equation}\label{eq:AT}
\widetilde{A}_{mn} =  A_{nm}  \; .
\end{equation}
Macierz transponowana $\bm{A}^T$ powstaje z macierzy \bm{A} przez 
zamian"e wierszy na kolumny i kolumn na wiersze, z pozostawieniem na miejscu tzw. element"ow diagonalnych: $A_{11},  A_{22}, \ldots \
;$. 
\item Macierz hermitowsko sprz"e"ron"a $\bm{A}^{\dagger} = 
\widetilde{\bm{A}}$, o wymiarach $N \times M$ i  elementach
\begin{equation}\label{eq:AH}
\widetilde{A}_{mn} =  A_{nm}^*  \; .
\end{equation}
Zachodzi oczywi"scie
\begin{equation} \label{eq:AH(2)}
\bm{A}^{\dagger} = (\bm{A}^*)^T = (\bm{A}^T)^* \; .
\end{equation}
Na przyk"lad, macierz hermitowsko sprz"e"rona wzgl"edem macierzy 
kolumnowej \bm{a}, patrz r"own. (\ref{eq:a(M)}), jest macierz"a wierszow"a:
\begin{equation} \label{eq:aH(M)}
\bm{a}^{\dagger} = (a_1^*, a_2^*, \ldots, a_M^*) \; .
\end{equation}
 Zauwa"rmy przy okazji, "re  mno"renie macierzy wierszowej 
\bm{a}$^{\dagger}$  przez macierz ko\-lum\-no\-w"a \bm{b}, analogiczn"a do macierzy (\ref{eq:a(M)}),  daje macierz \bm{a}$^{\dagger}$\bm{b},
 kt"ora jest  macierz"a o wymiarach $1 \times 1$, czyli pewn"a 
liczb"a ze zbioru liczb {\bf K}: $\; \bm{a}^{\dagger} \bm{b} \in$ {\bf K}.
  \end{enumerate}
Dwukrotne powt"orzenie ka"rdej z operacji (a-c) przywraca stan 
pocz"atkowy:
\begin{equation} \label{eq:A**}
(\bm{A}^*)^* = (\bm{A}^T)^T = (\bm{A}^{\dagger})^{\dagger} = \bm{A}  
\; .
\end{equation}
Zastosowanie operacji (a-c) do sumy macierzy daje:
\begin{equation} \label{eq:(A+B)*}
  \begin{array}{ccc}
(\bm{A} + \bm{B})^* & = &\bm{A}^* + \bm{B}^* \; , \\
(\bm{A} + \bm{B})^T & = &\bm{A}^T + \bm{B}^T \; , \\
(\bm{A} + \bm{B})^{\dagger} & = &\bm{A}^{\dagger} + \bm{B}^{\dagger} 
\, , 
  \end{array}
\end{equation}
a w przypadku iloczynu macierzy przez liczb"e:
\begin{equation} \label{eq:(cA)*}
  \begin{array}{ccc}
(c \bm{A})^* & = & c^* \bm{A}^*  \; , \\
(c \bm{A})^T & = & c \bm{A}^T  \; , \\
(c \bm{A})^{\dagger} & = &c^* \bm{A}^{\dagger} \; . 
  \end{array}
\end{equation}
Z kolei, zastosowanie operacji (a-c) do iloczynu macierzy daje:
\begin{equation} \label{eq:(AB)*}
  \begin{array}{ccc}
(\bm{A} \bm{B})^* & = &\bm{A}^* \bm{B}^* \; , \\
(\bm{A} \bm{B})^T & = &\bm{B}^T \bm{A}^T \; , \\
(\bm{A} \bm{B})^{\dagger} & = &\bm{B}^{\dagger} \bm{A}^{\dagger} \; . 

  \end{array}
\end{equation}
Odnotujmy zmian"e porz"adku iloczynu w wyniku operacji (b) i (c). 
\item Szczeg"oln"a rol"e  w algebrze odgrywaj"a macierze kwadratowe 
($N = M$). W"sr"od macierzy kwadratowych wyr"o"rnion"a role odgrywaj"a: (kwadratowa) macierz zerowa \bm{O}, o w"lasno"sciach okre"s
lonych w r"own. (\ref{eq:A+O}) i (\ref{eq:A-A}), oraz macierz 
jednostkowa,
\begin{equation} \label{eq:1}
 \bm{1} = \left(
  \begin{array} {cccc}
     1   & 0  &   \ldots & 0  \\
     0   & 1  &   \ldots & 0  \\
     \vdots   & \vdots   & \vdots  & \vdots     \\
     0   &  0 &   \ldots & 1  
  \end{array}
      \right)  \; ,
\end{equation}
spe"lniaj"aca rol"e "`jedynki'' w mno"reniu macierzy:
\begin{equation} \label{eq:A1}
\bm{1} \bm{A} = \bm{A} \bm{1} = \bm{A} \; .
\end{equation}
\item Ka"rdej macierzy kwadratowej \bm{A} mo"rna przypisa"c liczb"e 
$\det \bm{A}$, zwan"a wyznacznikiem macie\-rzy \bm{A}, zapisywan"a tak"re jako
\begin{equation}\label{eq:detA}
\det \bm{A} = \left|
  \begin{array} {cccc}
     A_{11}   &  A_{12}  &   \ldots &  A_{1M}  \\
     A_{21}   &  A_{22}  &   \ldots &  A_{2M}  \\
     \vdots   & \vdots   & \vdots  & \vdots     \\
      A_{M1} &  A_{M2} &   \ldots &  A_{MM}  
  \end{array}
      \right|  \; ,
\end{equation}
a zdefinowan"a formalnie w postaci
\begin{equation}\label{eq:detA(2)}
\det \bm{A} = \sum_{\sigma} {\rm znak}(\sigma) 
A_{1 \sigma(1)}  A_{2 \sigma(2)} \cdots  A_{M \sigma(M)} \; ,
\end{equation}
gdzie sumowanie rozci"aga si"e na wszystkie $M!$ permutacji zbioru 
wska"znik"ow $1,2,$ $\ldots,M$ numeruj"acych kolumny macierzy \bm{A}, a znak($\sigma$) jest znakiem permutacji $\sigma$, przyjmuj"ac
ym warto"sci $+1$ lub $-1$, w zale"rno"sci od tego, czy permutacja ta 
jest parzysta, czy nieparzysta. Prosty przyk"lad: wyznacznik macierzy \bm{A} o wy\-mia\-rach $2 \times 2$:
\begin{equation} \label{eq:detA2x2}
\det \bm{A} = \left|
  \begin{array} {cc}
     A_{11}   &  A_{12}   \\
     A_{21}   &  A_{22}   
  \end{array}
      \right|  =   A_{11}  A_{22} - A_{12}  A_{21} \; .
\end{equation}
W przypadku  macierzy wy"rszych wymiar"ow efektywnym sposobem 
obliczania wyznacznik"ow jest zastosowanie tzw. rozwini"ecia Laplace'a (wzgl"edem kolumn lub wierszy ma\-cie\-rzy). Nie\-kt"o\-re w"lasno
"sci wyznacznika macierzy:
   \begin{enumerate}
      \item Je"sli z macierzy \bm{A} utworzy"c now"a macierz 
$\bm{A}'$ przez zamian"e dw"och kolumn (lub dw"och wierszy), to $\det \bm{A}' = - \det \bm{A}$. Wynika st"ad, "re gdy dwie kolumny (lub dw
a wiersze) macierzy \bm{A} s"a identyczne, to $\det \bm{A} = 0$.
      \item Zachodzi
\begin{equation} \label{eq:det1}
\det \bm{1} = 1  \; .
\end{equation}
Dla ka"rdej macierzy kwadratowej \bm{A}  mamy
\begin{equation} \label{eq:detAT}
\det (\bm{A}^T) = \det \bm{A}  \; ,
\end{equation}
\begin{equation} \label{eq:detA*}
\det (\bm{A}^*) = \det (\bm{A}^{\dagger}) = (\det \bm{A})^*  \; ,
\end{equation}
      \item Je"sli macierze \bm{A} i \bm{B} s"a macierzami 
kwadratowymi o tych samych wymiarach, to
\begin{equation} \label{eq:detAB}
\det (\bm{A}\bm{B}) = \det (\bm{B}\bm{A}) = \det \bm{A} \det \bm{B}  
\; .
\end{equation}
   \end{enumerate}
\item Je"sli \bm{A} jest macierz"a kwadratow"a i $\det \bm{A} \neq 
0$, to istnieje macierz odwrotna do macierzy \bm{A}, oznaczana przez $\bm{A}^{-1}$, taka, "re
\begin{equation} \label{eq:A(-1)}
\bm{A}^{-1} \bm{A} = \bm{A}\bm{A}^{-1} = \bm{1}  \; .
\end{equation}
Z r"own. (\ref{eq:det1}), (\ref{eq:detAB}) i (\ref{eq:A(-1)}) wynika, 
"re
\begin{equation} \label{eq:detA(-1)}
\det (\bm{A}^{-1}) = (\det \bm{A})^{-1}  \; .
\end{equation}
Prosty przyk"lad: macierz odwrotna do macierzy \bm{A} o wymiarach $2 
\times 2$:
\begin{equation} \label{eq:A2x2(-1)}
 \bm{A}^{-1} = \frac{1}{\det \bm{A}} \left(
  \begin{array} {rr}
     A_{22}   & - A_{12}  \\
    - A_{21}   &  A_{11}   
  \end{array}
      \right) \; ,
\end{equation}
gdzie $\det \bm{A}$ jest zdefiniowany w r"own. (\ref{eq:detA2x2}). \\
Je"sli \bm{A} i \bm{B} s"a macierzami kwadratowymi o tych samych 
wymiarach i s"a odwracalne (czyli maj"a odwrotno"sci), to ich iloczyn  \bm{AB} jest tak"re macierz"a odwracaln"a [bo wyznacznik (\ref{
eq:detAB}) jest r"o"rny od zera] i zachodzi
\begin{equation} \label{eq:AB(-1)}
\bm{AB}^{-1} = \bm{B}^{-1} \bm{A}^{-1} \; .
\end{equation}
Tu, podobnie jak w przypadku operacji (b) i (c) w r"own. 
(\ref{eq:(AB)*}), tak"re zachodzi zmiana porz"adku iloczynu.
\item Rozwa"rmy macierze zespolone ({\bf K} $=$ {\bf C}). Macierz 
kwadratow"a  \bm{A} nazywamy:\\
-- rzeczywist"a, gdy 
\begin{equation} \label{eq:A*=A}
\bm{A}^* = \bm{A}  \quad (\mbox{czyli  }  A_{mn}^* = A_{mn}) \; ,
\end{equation}
-- symetryczn"a, gdy
\begin{equation} \label{eq:AT=A}
\bm{A}^T = \bm{A} \quad (\mbox{czyli  }  A_{nm} = A_{mn}) \; ,
\end{equation}
-- hermitowsk"a, gdy 
\begin{equation} \label{eq:AH=A}
\bm{A}^{\dagger} = \bm{A} \quad (\mbox{czyli  }  A_{nm}^* = A_{mn}) 
\; ,
\end{equation}
-- ortogonaln"a, gdy $\det \bm{A} \ne 0$ i zachodzi
\begin{equation} \label{eq:AT=A(-1)}
\bm{A}^T = \bm{A}^{-1} \; ,
\end{equation}
-- unitarn"a, gdy $\det \bm{A} \ne 0$ i zachodzi
\begin{equation} \label{eq:AH=A(-1)}
\bm{A}^{\dagger} = \bm{A}^{-1} \; .
\end{equation}
 Z r"own. (\ref{eq:detAT}), (\ref{eq:detA(-1)}) i (\ref{eq:AT=A(-1)}) 
wynika, "ze w przypadku macierzy ortogonalnej zachodzi
\begin{equation} \label{eq:detA2)}
(\det \bm{A})^2 = 1 \; .
\end{equation}
Podobnie, z r"own. (\ref{eq:detA*}), (\ref{eq:detA(-1)}) i 
(\ref{eq:AH=A(-1)}) wynika, "ze w przypadku macierzy uni\-tar\-nej za\-cho\-dzi
\begin{equation} \label{eq:moddetA2)}
|\det \bm{A})|^2 = 1 \; .
\end{equation}
Gdy rozwa"ramy macierze rzeczywiste ({\bf K} $=$ {\bf R}), to r"own. 
(\ref{eq:A*=A}) jest zawsze spe"lnione, patrz uwaga \ref{it:RinC} w rozdziale \ref{ch:lzesp}. W tym przypadku po\-j"e\-cie ma\-cie
\-rzy hermitowskiej pokrywa si"e z poj"eciem macierzy symetrycznej, a 
po\-j"e\-cie ma\-cie\-rzy unitarnej pokrywa si"e z poj"eciem macierzy ortogonalnej.

\end{enumerate}

\end{document}
