Odwzorowania

Mówi się, że zostało określone odwzorowanie $f$ zbioru $X$ w zbiór $Y$, jeśli każdemu elementowi $x$ zbioru $X$ został przyporządkowany jeden element $y$ ze zbioru $Y$. Dany element $x$ zbioru $X$ nazywamy argumentem odworowania $f$, a przyporządkowany mu element $y$ zbioru $Y$ nazywamy wartością odwzorowania $f$ odpowiadającą $x$, co zapisujemy w postaci $y = f(x)$. Zbiór $X$ nazywamy dziedziną odwzorowania $f$, a zbiór $Y$ przeciwdziedziną tego odwzorowania. Odwzorowanie jest określone jednoznacznie przez swoją dziedzinę i przeciwdziedzinę, oraz przez podanie zależności $y = f(x)$. Odwzorowanie zapisuje się symbolicznie w postaci ''strzałki'':

$$X \stackrel{f}{\rightarrow} Y \; ,$$ (70)

inna forma to $\; f$: $\; X \rightarrow Y$. Podana wyżej definicją odwzorowania, wykorzystująca bardziej rozbudowaną notację matematyczną, wygląda następująco:

$$X \ni x \mapsto y = f(x) \in Y \; .$$ (71)

gdzie zakłada sie, że
(i) każdemu $x$ jest przypisane pewne $y$,
(ii) jeśli danemu $x$ są przypisane $y_1$ i $y_2$, to $y_1 = y_2$.
Dwa odwzorowania $f$ i $g$ są identyczne, co zapisuje się jako $f = g$, wtedy i tylko wtedy gdy:
(i) dziedziny $X$ obu odwzorowań są identyczne,
(ii) przeciwdziedziny $Y$ obu odwzorowań są identyczne,
(iii) dla każdego $x \in X$ zachodzi $f(x) = g(x)$.
Gdy zbiory $X$ i $Y$ są zbiorami liczb (podzbiorami R lub C), to odwzorowanie $f$ nazywa się funkcją. Przykład: poniższe definicje określają trzy różne funkcje:
(a) $f_1 = \sin$, o dziedzinie R i przeciwdziedzinie R,
(b) $f_2 = \sin$, o dziedzinie R i przeciwdziedzinie $[-1, 1]$,
(c) $f_3 = \sin$, o dziedzinie $[0,2\pi]$ i przeciwdziedzinie $[-1, 1]$.
UWAGA: z powyższych rozważań wynika, że powinno się rozróżniać symbol $f$, określający odwzorowanie, od symbolu $(f(x)$, określającego wartość owzorowania $f$ odpowiadającą danemu argumentowi $x$. Zapisu $f(x)$ na określenie odwzorowania stosuje się czasem, by podkreślić, jak wygląda zbiór argumentów odwzorowania: np. $f(x,y)$ jako symbol odwzorowania wskazuje, że zbiorem argumentów jest zbiór par elementów $(x,y)$.

1. Jeśli $A$ jest podzbiorem dziedziny odwzorowania $f$, $A \subset X$, to przez $f(A)$ oznacza się podzbiór przeciwdziedziny Y, złożony ze wszystkich $y$ takich, że istnieje $x \in A$ taki, że $y = f(x)$. Zbiór $f(A)$ nazywa się obrazem zbioru $A$ w odwzorowaniu $f$. Zbiór $f(X)$, gdzie $X$ jest dziedziną odwzorowania $f$, nazywa się po prostu obrazem odwzorowania $f$. Oczywiście $f(X)$ jest podzbiorem przeciwdziedziny $Y$, $f(X) \subset Y$, ale niekoniecznie równa się $Y$.