1. Macierz kwadratowa $A$ jest hermitowska, jeśli jej elementy spełniają warunek:
   
   a) $A_{mn} = A_{nm}$,      b) $A^*_{mn} = A_{nm}$,      c) $A^*_{mn} = A_{mn}$,      d) $A^*_{mn} = A^{-1}_{nm}$.
2. $u$, $v$ i $w$ są dowolnymi wektorami w zespolonej przestrzeni wektorowej, a $c$ jest dowolną liczbą zespoloną. Iloczyn skalarny nie spełnia warun ku :
   
   a) $\langle (\mbox{\boldmath$u$} + \mbox{\boldmath$v$}) \vert \mbox{\boldmath$w$} \... ...$w$} \rangle + \langle \mbox{\boldmath$v$} \vert \mbox{\boldmath$w$} \rangle$,      b) $\langle \mbox{\boldmath$v$} \vert c \mbox{\boldmath$w$} \rangle = c \langle \mbox{\boldmath$v$} \vert \mbox{\boldmath$w$} \rangle$,      c) $\langle c \mbox{\boldmath$v$} \vert \mbox{\boldmath$w$} \rangle = c \langle \mbox{\boldmath$v$} \vert \mbox{\boldmath$w$} \rangle$,      d) $\langle \mbox{\boldmath$v$} \vert \mbox{\boldmath$w$} \rangle = (\langle \mbox{\boldmath$w$} \vert \mbox{\boldmath$v$} \rangle)^*$.
3. Założenia jak w zad. (2). Jeśli $\hat{A}$ jest operatorem liniowym w zespolonej przestrzeni wektorowej, to która równość jest fałszywa?
   
   a) $\hat{A} (\mbox{\boldmath$v$} + \mbox{\boldmath$w$}) = \hat{A} \mbox{\boldmath$v$} + \hat{A} \mbox{\boldmath$w$}$,      b) $\hat{A} (c \mbox{\boldmath$v$}) = c \hat{A} \mbox{\boldmath$v$}$,      c) $\hat{A} \mbox{\boldmath$0$} = \mbox{\boldmath$0$}$,      d) $\hat{A} (i \mbox{\boldmath$v$}) = -i \hat{A} \mbox{\boldmath$v$}$,
   gdzie $0$ jest wektorem zerowym.
4. Warunek, że operator $\hat{A}$ jest hermitowski, zapisać można jako:
   $\langle f \vert \hat{A} g \rangle = \langle \hat{A} f \vert g \rangle$, dla dowolnych funkcji falowych $f$ i $g$. Dla funkcji jednej zmiennej warunek ten przyjmuje postać: $\int_{-\infty}^{\infty} f^*(x) \hat{A} g(x) dx =$
   
   a) $\int_{-\infty}^{\infty} \hat{A} f^*(x) g(x) dx$,      b) $\int_{-\infty}^{\infty} [\hat{A} f^*(x)] g(x) dx$,      c) $\int_{-\infty}^{\infty} [\hat{A} f(x)]^* g(x) dx$,
   d) $\int_{-\infty}^{\infty} [\hat{A} f(x)] g(x)^* dx$.
5. Który z poniższych operatorów liniowych, działających na funkcje zmiennej $x$, nie jest operatorem hermitowskim?
   
   a) $\hat{A} = x^2 + 2x +1$,      b) $\hat{A} = 10 + i$,      c) $\hat{A} = 10i \frac{d}{dx}$,      d) $\hat{A} = \frac{1}{x + 1}$.
6. Macierze $A$, $B$ i $C$ mają wymiary, odpowiednio, $M \times K$, $L \times N$ i $M \times N$. Jeśli $\mbox{\boldmath$C$} = \mbox{\boldmath$A$} \mbox{\boldmath$B$}$, to musi zachodzić (wskaż stwierdzenie fałszywe):
   
   a) $L = K$,      b) $C_{mn} = A_{mk} B_{kn}$,      c) jeśli $\mbox{\boldmath$A$} = \mbox{\boldmath$O$}$, to $\mbox{\boldmath$C$} = \mbox{\boldmath$O$}$,
   d) jeśli $\mbox{\boldmath$B$} = \mbox{\boldmath$1$}$, to $\mbox{\boldmath$C$} = \mbox{\boldmath$A$}$,
   gdzie $O$ jest macierzą zerową, a $1$ jest macierzą jednostkową odpowiednich wymiarów.
7. Niech ${\sf B} = \{\mbox{\boldmath$e$}_1, \mbox{\boldmath$e$}_2, \ldots , \mbox{\boldmath$e$}_M\}$ i ${\sf B}' = \{\mbox{\boldmath$e$}'_1, \mbox{\boldmath$e$}'_2, \ldots , \mbox{\boldmath$e$}'_N\}$ będą dwoma bazami pewnej zespolonej przestrzeni wektorowej. Musi zachodzić (wskaż stwierdzenie fałszywe):
   
   a) $N = M$,      b) ${\sf B}$ i ${\sf B}'$ są zbiorami wektorów liniowo niezależnych,
   c) jesli macierz $U$ definiuje transformację bazy ${\sf B}$ w ${\sf B}'$, to $\det \mbox{\boldmath$U$} \neq 0$,      d) żaden wektor bazy ${\sf B}$ nie może być kombinacją liniową wektorów bazy ${\sf B}'$ (i na odwrót).
8. $\hat{A}$ jest operatorem hermitowskim. Które z poniższych stwierdzeń jest fałszywe:
   
   a) funkcja własna $\phi$ operatora $\hat{A}$ spełnia warunek $\hat{A} \phi = a \phi$, gdzie $a$ jest odpowiednią wartością własną,     
   b) wartości własne $\hat{A}$ mogą być liczbami ujemnymi,     
   c) funkcje własne $\hat{A}$ odpowiadające różnym wartościom wlasnym są ortogonalne,     
   d) wartości własne $\hat{A}$ mogą być liczbami zespolonymi,