1. Macierz kwadratowa $A$ jest hermitowska, jeśli jej elementy spełniają warunek:

    a) $A_{mn} = A_{nm}  $,      b) $A^*_{mn} = A_{nm}  $,      c) $A^*_{mn} = A_{mn}  $,      d) $A^*_{mn} = A^{-1}_{nm}  $.
  2. $u$, $v$ i $w$ są dowolnymi wektorami w zespolonej przestrzeni wektorowej, a $c$ jest dowolną liczbą zespoloną. Iloczyn skalarny nie spełnia warun ku :

    a) $\langle (\mbox{\boldmath$u$} + \mbox{\boldmath$v$}) \vert \mbox{\boldmath$w$} \...
  ...$w$} \rangle +
  \langle \mbox{\boldmath$v$} \vert \mbox{\boldmath$w$} \rangle  $,      b) $\langle \mbox{\boldmath$v$} \vert c \mbox{\boldmath$w$} \rangle = c \langle \mbox{\boldmath$v$} \vert \mbox{\boldmath$w$}
  \rangle  $,      c) $\langle c \mbox{\boldmath$v$} \vert \mbox{\boldmath$w$} \rangle = c \langle \mbox{\boldmath$v$} \vert \mbox{\boldmath$w$}
  \rangle  $,      d) $\langle \mbox{\boldmath$v$} \vert \mbox{\boldmath$w$} \rangle = (\langle \mbox{\boldmath$w$} \vert \mbox{\boldmath$v$}
  \rangle)^*  $.
  3. Założenia jak w zad. (2). Jeśli $\hat{A}$ jest operatorem liniowym w zespolonej przestrzeni wektorowej, to która równość jest fałszywa?

    a) $\hat{A} (\mbox{\boldmath$v$} + \mbox{\boldmath$w$}) = \hat{A} \mbox{\boldmath$v$} + \hat{A} \mbox{\boldmath$w$}  $,      b) $\hat{A} (c \mbox{\boldmath$v$}) = c \hat{A} \mbox{\boldmath$v$}  $,      c) $\hat{A} \mbox{\boldmath$0$} = \mbox{\boldmath$0$}  $,      d) $\hat{A} (i \mbox{\boldmath$v$}) = -i \hat{A} \mbox{\boldmath$v$}  $,
    gdzie $0$ jest wektorem zerowym.
  4. Warunek, że operator $\hat{A}$ jest hermitowski, zapisać można jako:
    $\langle f \vert \hat{A} g \rangle = \langle \hat{A} f \vert
  g \rangle$, dla dowolnych funkcji falowych $f$ i $g$.
    Dla funkcji jednej zmiennej warunek ten przyjmuje postać: $ \int_{-\infty}^{\infty} f^*(x) \hat{A} g(x) dx = $

    a) $ \int_{-\infty}^{\infty} \hat{A} f^*(x) g(x) dx$,      b) $ \int_{-\infty}^{\infty} [\hat{A} f^*(x)] g(x) dx$,      c) $ \int_{-\infty}^{\infty} [\hat{A} f(x)]^* g(x) dx$,
    d) $ \int_{-\infty}^{\infty} [\hat{A} f(x)] g(x)^* dx$.
  5. Który z poniższych operatorów liniowych, działających na funkcje zmiennej $x$, nie jest operatorem hermitowskim?

    a) $\hat{A} = x^2 + 2x +1  $,      b) $\hat{A} = 10 + i  $,      c) $\hat{A} = 10i \frac{d}{dx}  $,      d) $\hat{A} = \frac{1}{x + 1}  $.
  6. Macierze $A$, $B$ i $C$ mają wymiary, odpowiednio, $M \times K$, $L \times N$ i $M \times N$. Jeśli $\mbox{\boldmath$C$} = \mbox{\boldmath$A$} \mbox{\boldmath$B$}  $, to musi zachodzić (wskaż stwierdzenie f ałszywe):

    a) $L = K  $,      b) $C_{mn} = A_{mk} B_{kn}  $,      c) jeśli $\mbox{\boldmath$A$} = \mbox{\boldmath$O$}  $, to $\mbox{\boldmath$C$} = \mbox{\boldmath$O$}  $,
    d) jeśli $\mbox{\boldmath$B$} = \mbox{\boldmath$1$}  $, to $\mbox{\boldmath$C$} = \mbox{\boldmath$A$}  $,
    gdzie $O$ jest macierzą zerową, a $1$ jest macierzą jednostkową odpowiednich wymiarów.
  7. Niech ${\sf B} = \{\mbox{\boldmath$e$}_1, \mbox{\boldmath$e$}_2, \ldots , \mbox{\boldmath$e$}_M\}$ i ${\sf B}' = \{\mbox{\boldmath$e$}'_1, \mbox{\boldmath$e$}'_2, \ldots , \mbox{\boldmath$e$}'_N\}$ będą dwoma bazami pewnej zespolonej przestrzeni wektorowej. Musi zachodzić (wskaż stwierdzenie fałszywe):

    a) $N = M  $,      b) ${\sf B}$ i ${\sf B}'$ są zbiorami wektorów liniowo niezależnych,
    c) jesli macierz $U$ definiuje transformację bazy ${\sf B}$ w ${\sf B}'$, to $\det \mbox{\boldmath$U$} \neq 0  $,      d) żaden wektor bazy ${\sf B}$ nie może być kombinacją liniową wektorów bazy ${\sf B}'$ (i na odwrót).
  8. $\hat{A}$ jest operatorem hermitowskim. Które z poniższych stwierdzeń jest fałszywe:

    a) funkcja własna $\phi$ operatora $\hat{A}$ spełnia warunek $\hat{A} \phi = a \phi  $, gdzie $a$ jest odpowiednią wartością własną,     
    b) wartości własne $\hat{A}$ mogą być liczbami ujemnymi,     
    c) funkcje własne $\hat{A}$ odpowiadające różnym wartościom wlasnym są ortogonalne,     
    d) wartości własne $\hat{A}$ mogą być liczbami zespolonymi,




Edyta Malolepsza 2000-11-24