Liczby zespolone

Zbiór liczb rzeczywistych oznaczamy przez ${\bf R}$, a zbiór liczb zespolonych przez ${\bf C}$. Liczba zespolona $z \in {\bf C}$ może być zapisana w postaci

$$z = a + bi \; , \quad \mbox{gdzie} \quad a, b \in {\bf R} \; ,$$ (1)

a $i$ jest tzw. jednostką urojoną, spełniającą warunek

$$i^2 = -1 \; .$$ (2)

Potocznie zapisuje się: $i = \sqrt{-1}$.

1. Dla każdej liczby zespolonej $z$ danej w postaci (1) definiuje się liczbę zespoloną sprzężoną względem $z$:
   

   $$z^* = a - bi \; .$$ (3)

   
   
   Spełnione jest:
   

   $$zz^* = (a +bi) (a - bi) = a^2 + b^2 \; ,$$ (4)

   
   
   a więc $zz^* \in {\bf R}$ i $zz^* \geq 0$. Oczywiście, $zz^* = 0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $z = 0 + 0i = 0$.
2. Moduł liczby zespolonej $z$ definiuje się jako
   

   $$\vert z\vert = \sqrt{zz^*} = \sqrt{a^2 + b^2} \; .$$ (5)

   
   
   Z powyższej definicji wynika, że $\vert z\vert$ jest liczbą rzeczywistą nieujemną. $\vert z\vert = 0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $z = 0$.
3. Dla każdej liczby zespolonej $z$ danej w postaci (1) definiuje się
   - część rzeczywistą $z$:
   

   $$\mbox{Re}z = \frac{1}{2} (z + z^*) = a \; ,$$ (6)

   
   
   - część urojoną $z$:
   

   $$\mbox{Im}z = \frac{-i}{2} (z - z^*) = b \; .$$ (7)

   
   
   Re$z$ i Im$z$ są więc liczbami rzeczywistymi.
4. Działania arytmetyczne w zbiorze liczb zespolonych: dla $z_1 = a + b i$ i $z_2 =c + di$ określa się:
   - sumę:
   

   $$z_1 + z_2 = (a+ bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i \; ,$$ (8)

   
   
   - iloczyn:
   

   $$z_1 z_2 = (a+ bi) (c + di) = ac + bci + adi + bdi^2 = (ac - bd) + (bc + ad)i \; .$$ (9)

   
   
   Oba działania są przemienne. Dla każdej liczby zespolonej $z \neq 0$ można skonstruować odwrotność $z^{-1}$,
   

   $$z^{-1} = \frac{z^*}{zz^*} = \frac{a - bi }{ a^2 + b^2} \; ,$$ (10)

   
   
   tak, że zachodzi
   

   $$zz^{-1} = 1 \; .$$ (11)

   
   
   Działania arytmetyczne w zbiorze liczb zespolonych są więc analogiczne do działań w zbiorze liczb rzeczywistych.
5. Definicja liczby sprzężonej zespolonej (3), zastosowana do sumy i iloczynu liczb zespolonych, daje
   

   $$(z_1 + z_2)^* = z_1^* + z_2^* \; ,$$ (12)

   
   
   
   

   $$(z_1 z_2)^* = z_1^* z_2^*\; .$$ (13)

   
   
   Także w zastosowaniu do obliczania odwrotności otrzymujemy
   

   $$(z^{-1})^* = (z^*)^{-1} \; .$$ (14)

   
   

6. Dowodzi się, że
   

   $$e^{\phi i} = \cos\phi + i \sin\phi \; , \quad \mbox{gdzie} \quad \phi \in {\bf R} \; ,$$ (15)

   
   

7. Liczba zespolona $z \neq 0$ może być zapisana w tzw. postaci wykładniczej,
   

   $$z = r e^{\phi i} \; ,$$ (16)

   
   
   oraz w równoważnej postaci trygonometrycznej:
   

   $$z = r\cos\phi + i r \sin\phi \; ,$$ (17)

   
   
   gdzie $r$ jest liczbą rzeczywistą nieujemną, a $\phi \in [0, 2\pi)$. łatwo sprawdzić, że
   

   $$r = \vert z\vert = \sqrt{a^2 + b^2} \; .$$ (18)

   
   
   Wielkość kątowa $\phi$ nazywana jest argumentem liczby $z$. Jest ona wyznaczona jako rozwiązanie układu równań
   

   $$\begin{array}{rcl} \cos\phi & = & \frac{a}{\sqrt{a^2 + b... ...\sin\phi & = & \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \; , \end{array}$$ (19)

   
   
   należące do przedziału $[0, 2\pi)$. Dla $z = 0$ mamy $r = 0$, a wartość $\phi$ jest nieokreślona.
   Postacie: wykładnicza i trygonometryczna liczby zespolonej $z$ są wygodne przy obliczaniu potęg $z$ o dowolnym wykładniku całkowitym (dodatnim lub ujemnym), oraz ułamkowym (wyciąganie pierwiastków). W szczególności, odwrotność liczby $z$, patrz równ. (10), przedstawić można w postaciach:
   

   $$z^{-1} = \frac{1}{r} \; e^{-\phi i} = \frac{1}{r} \cos\phi - \frac{i}{r} \sin\phi \; ,$$ (20)

   
   
   które wynikają z równ. (15) i (16).
8. Rozważmy wielomian stopnia $n$ zmiennej zespolonej $z$, o współczynnikach zespolonych:
   

   $$W^{(n)}(z) = a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + \ldots + a_0 \; .$$ (21)

   
   
   Ważnym problemem jest określenie, czy taki wielomian ma pierwiastki (rozwiązania równania $W^{(n)}(z) = 0$). Tzw. podstawowe twierdzenie algebry glosi, źe wielomian (21) ma dokładnie $n$ pierwiastków, $z_1, z_2, \ldots , z_n$, (niekoniecznie różnych), tak, że możliwe jest przedstawienie iloczynowe:
   

   $$W^{(n)}(z) = a_n (z - z_1)(z - z_2) \cdots (z - z_n) \; .$$ (22)

   
   
   Twierdzenie to nie zachodzi dla wielomianów zmiennej rzeczywistej. Np. wielomiany $\quad W^{(2)}(x) = x^2 + 1 \quad$ i $\quad W^{(4)}(x) = x^4 + 4 x^2 + 3 \quad$ nie mają żadnych pierwiastków rzeczywistych.
9. Liczby zespolone spełniające warunek
   

   $$z^* = z \; ,$$ (23)

   
   
   (czyli liczby zespolone, których część urojona Im$z = 0$) mają wszystkie własności arytmetyczne liczb rzeczywistych. Wygodnie będzie więc utożsamiać te liczby z liczbami rzeczywistymi. W tym sensie będziemy dalej uważać zbiór liczb rzeczywistych R za podzbiór zbioru liczb zespolonych C (co zapisuje się w postaci R $\subset$ C), a równanie (23) za warunek definiujący liczbę rzeczywistą.
10. Liczby zespolone spełniające warunek
    

    $$z^* = -z \; ,$$ (24)

    
    
    (czyli liczby zespolone, których część rzeczywista Re$z = 0$) nazywane są liczbami urojonymi. Liczby te można zapisać w postaci $z = bi$, gdzie $b$ jest liczbą rzeczywistą. Suma dwóch liczb urojonych jest liczbą urojoną, ale iloczyn dwóch liczb urojonych jest zawsze liczbą rzeczywistą (ujemną).