Liczby zespolone
Zbiór liczb rzeczywistych oznaczamy przez
, a zbiór liczb zespolonych przez
. Liczba zespolona
może być zapisana w postaci
![\begin{displaymath}
z = a + bi \; , \quad \mbox{gdzie} \quad a, b \in {\bf R} \; ,
\end{displaymath}](img4.png) |
(1) |
a
jest tzw. jednostką urojoną, spełniającą warunek
![\begin{displaymath}
i^2 = -1 \; .
\end{displaymath}](img6.png) |
(2) |
Potocznie zapisuje się:
.
- Dla każdej liczby zespolonej
danej w postaci (1) definiuje się liczbę zespoloną sprzężoną względem
:
![\begin{displaymath}
z^* = a - bi \; .
\end{displaymath}](img9.png) |
(3) |
Spełnione jest:
![\begin{displaymath}
zz^* = (a +bi) (a - bi) = a^2 + b^2 \; ,
\end{displaymath}](img10.png) |
(4) |
a więc
i
. Oczywiście,
wtedy i tylko wtedy, gdy
.
- Moduł liczby zespolonej
definiuje się jako
![\begin{displaymath}
\vert z\vert = \sqrt{zz^*} = \sqrt{a^2 + b^2} \; .
\end{displaymath}](img15.png) |
(5) |
Z powyższej definicji wynika, że
jest liczbą rzeczywistą nieujemną.
wtedy i tylko wtedy, gdy
.
- Dla każdej liczby zespolonej
danej w postaci (1) definiuje się
- część rzeczywistą
:
![\begin{displaymath}
\mbox{Re}z = \frac{1}{2} (z + z^*) = a \; ,
\end{displaymath}](img19.png) |
(6) |
- część urojoną
:
![\begin{displaymath}
\mbox{Im}z = \frac{-i}{2} (z - z^*) = b \; .
\end{displaymath}](img20.png) |
(7) |
Re
i Im
są więc liczbami rzeczywistymi.
- Działania arytmetyczne w zbiorze liczb zespolonych: dla
i
określa się:
- sumę:
![\begin{displaymath}
z_1 + z_2 = (a+ bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i \; ,
\end{displaymath}](img23.png) |
(8) |
- iloczyn:
![\begin{displaymath}
z_1 z_2 = (a+ bi) (c + di) = ac + bci + adi + bdi^2 = (ac - bd) + (bc + ad)i \; .
\end{displaymath}](img24.png) |
(9) |
Oba działania są przemienne. Dla każdej liczby zespolonej
można skonstruować odwrotność
,
![\begin{displaymath}
z^{-1} = \frac{z^*}{zz^*} = \frac{a - bi }{ a^2 + b^2} \; ,
\end{displaymath}](img27.png) |
(10) |
tak, że zachodzi
![\begin{displaymath}
zz^{-1} = 1 \; .
\end{displaymath}](img28.png) |
(11) |
Działania arytmetyczne w zbiorze liczb zespolonych są więc analogiczne do działań w zbiorze liczb rzeczywistych.
- Definicja liczby sprzężonej zespolonej (3), zastosowana do sumy i iloczynu liczb zespolonych, daje
![\begin{displaymath}
(z_1 + z_2)^* = z_1^* + z_2^* \; ,
\end{displaymath}](img29.png) |
(12) |
![\begin{displaymath}
(z_1 z_2)^* = z_1^* z_2^*\; .
\end{displaymath}](img30.png) |
(13) |
Także w zastosowaniu do obliczania odwrotności otrzymujemy
![\begin{displaymath}
(z^{-1})^* = (z^*)^{-1} \; .
\end{displaymath}](img31.png) |
(14) |
- Dowodzi się, że
![\begin{displaymath}
e^{\phi i} = \cos\phi + i \sin\phi \; , \quad \mbox{gdzie} \quad \phi \in {\bf R} \; ,
\end{displaymath}](img32.png) |
(15) |
- Liczba zespolona
może być zapisana w tzw. postaci wykładniczej,
![\begin{displaymath}
z = r e^{\phi i} \; ,
\end{displaymath}](img33.png) |
(16) |
oraz w równoważnej postaci trygonometrycznej:
![\begin{displaymath}
z = r\cos\phi + i r \sin\phi \; ,
\end{displaymath}](img34.png) |
(17) |
gdzie
jest liczbą rzeczywistą nieujemną, a
. łatwo sprawdzić, że
![\begin{displaymath}
r = \vert z\vert = \sqrt{a^2 + b^2} \; .
\end{displaymath}](img37.png) |
(18) |
Wielkość kątowa
nazywana jest argumentem liczby
. Jest ona wyznaczona jako rozwiązanie układu równań
![\begin{displaymath}
\begin{array}{rcl}
\cos\phi & = & \frac{a}{\sqrt{a^2 + b...
...\sin\phi & = & \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \; ,
\end{array}
\end{displaymath}](img39.png) |
(19) |
należące do przedziału
. Dla
mamy
, a wartość
jest nieokreślona.
Postacie: wykładnicza i trygonometryczna liczby zespolonej
są wygodne przy obliczaniu potęg
o dowolnym wykładniku całkowitym (dodatnim lub ujemnym), oraz ułamkowym (wyciąganie pierwiastków). W szczególności, odwrotność liczby
, patrz równ. (10), przedstawić można w postaciach:
![\begin{displaymath}
z^{-1} = \frac{1}{r} \; e^{-\phi i} = \frac{1}{r} \cos\phi - \frac{i}{r} \sin\phi \; ,
\end{displaymath}](img42.png) |
(20) |
które wynikają z równ. (15) i (16).
- Rozważmy wielomian stopnia
zmiennej zespolonej
, o współczynnikach zespolonych:
![\begin{displaymath}
W^{(n)}(z) = a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + \ldots + a_0 \; .
\end{displaymath}](img44.png) |
(21) |
Ważnym problemem jest określenie, czy taki wielomian ma pierwiastki (rozwiązania równania
). Tzw. podstawowe twierdzenie algebry glosi, źe wielomian (21) ma dokładnie
pierwiastków,
, (niekoniecznie różnych), tak, że możliwe jest przedstawienie iloczynowe:
![\begin{displaymath}
W^{(n)}(z) = a_n (z - z_1)(z - z_2) \cdots (z - z_n) \; .
\end{displaymath}](img47.png) |
(22) |
Twierdzenie to nie zachodzi dla wielomianów zmiennej rzeczywistej. Np. wielomiany
i
nie mają żadnych pierwiastków rzeczywistych.
- Liczby zespolone spełniające warunek
![\begin{displaymath}
z^* = z \; ,
\end{displaymath}](img50.png) |
(23) |
(czyli liczby zespolone, których część urojona Im
) mają wszystkie własności arytmetyczne liczb rzeczywistych. Wygodnie będzie więc utożsamiać te liczby z liczbami rzeczywistymi. W tym sensie będziemy dalej uważać zbiór liczb rzeczywistych R za podzbiór zbioru liczb zespolonych C (co zapisuje się w postaci R
C), a równanie (23) za warunek definiujący liczbę rzeczywistą.
- Liczby zespolone spełniające warunek
![\begin{displaymath}
z^* = -z \; ,
\end{displaymath}](img52.png) |
(24) |
(czyli liczby zespolone, których część rzeczywista Re
) nazywane są liczbami urojonymi. Liczby te można zapisać w postaci
, gdzie
jest liczbą rzeczywistą. Suma dwóch liczb urojonych jest liczbą urojoną, ale iloczyn dwóch liczb urojonych jest zawsze liczbą rzeczywistą (ujemną).
Edyta Malolepsza
2000-12-20