Przestrzeń wektorowa zespolona o wymiarze skończonym

1. Baza ortonormalna w przestrzeni wektorowej $V = {\bf C}^n$:
   

   $$\left\{ \mbox{\boldmath$e$}_i \right\} _{i = 1}^{i = n} .$$ (72)

   
   

2. Rozwinięcie wektora $\mbox{\boldmath$v$} \in V$ w bazie (72):
   

   $$\mbox{\boldmath$v$} = \sum_{i = 1}^{n} \mbox{\boldmath$e$}_i c_i \;,$$ (73)

   
   
   gdzie
   

   $$c_i = \langle \mbox{\boldmath$e$}_i \vert \mbox{\boldmath$v$} \rangle \; .$$ (74)

   
   

3. Operator liniowy działający w przestrzeni $V$, wyrażony przy użyciu bazy (72):
   

   $$\hat{A} = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} A_{ij} \vert \... ...oldmath$e$}_i \rangle \langle \mbox{\boldmath$e$}_j \vert \;,$$ (75)

   
   
   gdzie współczynniki
   

   $$A_{ij} = \langle \mbox{\boldmath$e$}_i \vert \hat{A} \mbox{\boldmath$e$}_j \rangle$$ (76)

   
   
   tworzą macierz kwadratową $A$.
4. Niech $\phi$ i $\psi$ będą funkcjami porządnymi należącymi do przestrzeni Hilberta $\mathcal V$ funkcji zespolonych zmiennej rzeczywistej $x \in [a,b]$. Iloczyn skalarny w przestrzeni $\mathcal V$ określony jest następująco:
   

   $$\langle \phi \vert \psi \rangle = \int \limits_{a}^{b} dx\: \phi^*(x) \psi (x) \; .$$ (77)

   
   

Zadania

W zadaniach 1-3 przestrzeń wektorowa $V = {\bf C}^2$.

1. Dana jest macierz
   
   $$\mbox{\boldmath$A$} = \left( \begin{array}{cc} a & b ... ...\quad \mbox{gdzie} \quad a,b,c,d \in \mbox{\boldmath$C$} \; .$$
   
   
   Jakie warunki spełniać muszą liczby $a$, $b$, $c$ i $d$, aby odpowiadający tej macierzy operator $\hat{A}$, dany w postaci (75), był hermitowski? Sprawdzić poprawność znalezionych warunków przez obliczenie iloczynów skalarnych $\langle \mbox{\boldmath$v$} \vert \hat{A} \mbox{\boldmath$w$} \rangle$ i $\langle \hat{A} \mbox{\boldmath$v$} \vert \mbox{\boldmath$w$} \rangle$, gdzie $\mbox{\boldmath$v$}$ i $\mbox{\boldmath$w$}$ są dowolnymi wektorami wyrażonymi w postaci (73).
2. Pewnemu operatorowi $\hat{U}$ danemu w postaci (75) odpowiada macierz
   
   $$\mbox{\boldmath$U$} = \left( \begin{array}{cr} p & -q^*\... ...dmath$C$} \; , \quad \vert p\vert^2 + \vert q\vert^2 = 1 \; .$$
   
   
   Wykazać, że macierz $\mbox{\boldmath$U$}$ jest unitarna. Obliczając iloczyny skalarne $\langle \mbox{\boldmath$v$} \vert \mbox{\boldmath$w$} \rangle$ i $\langle \hat{U} \mbox{\boldmath$v$} \vert \hat{U} \mbox{\boldmath$w$} \rangle$, gdzie $\mbox{\boldmath$v$}$ i $\mbox{\boldmath$w$}$ są dowolnymi wektorami wyrażonymi w postaci (73), pokazać, że operator $\hat{U}$ jest unitarny.
3. Wektory $\mbox{\boldmath$v$}_1$ i $\mbox{\boldmath$v$}_2$ dane są w postaci (73), a odpowiadające im współczynniki rozwinięcia zapisane są w postaci następujących macierzy jednokolumnowych:
   
   $$\mbox{\boldmath$c$}_1 = \left( \begin{array}{c} c_{11}\\... ... \begin{array}{r} -x\\ x\\ \end{array} \right) \; ,$$
   
   
   gdzie $x \neq 0$ jest liczbą rzeczywistą. Sprawdzić, że $\mbox{\boldmath$v$}_1$ i $\mbox{\boldmath$v$}_2$ są wektorami własnymi operatora $\hat{A}$ z zad. 1, gdzie w macierzy $\mbox{\boldmath$A$}$ położono $a = d = E$ i $b = c = F$, a $E$ i $F$ są liczbami rzeczywistymi. Znaleźć wartości własne $a_1$ i $a_2$ tego operatora $\hat{A}$, odpowiadające wektorom $\mbox{\boldmath$v$}_1$ i $\mbox{\boldmath$v$}_2$. Znormalizować wektory $\mbox{\boldmath$v$}_1$ i $\mbox{\boldmath$v$}_2$ i sprawdzić, że uzyskany zbiór wektorów własnych tworzy bazę ortonormalną w przestrzeni wektorowej $V = \mbox{\boldmath$C$}^2$. Oznaczając przez $c'_{ij}$ odpowiednie współczynniki unormowanych wektorów własnych, pokazać, że macierz
   
   $$\mbox{\boldmath$C$}' = \left( \begin{array}{cc} c_{11}' & c_{12}' \\ c_{21}' & c_{22}' \\ \end{array} \right)$$
   
   
   jest macierzą unitarną.
4. Rozwaźamy zbiór wszystkich funkcji zmiennej rzeczywistej $x \in [-\pi, \pi]$, które wyrazić można w postaci kombinacji liniowych
   

   $$\psi(x) = \phi_1 c_1 + \phi_2 c_2 \; , \quad \mbox{gdzie} \quad c_1, c_2 \in \mbox{\boldmath$C$} \; ,$$ (78)

   
   
   gdzie
   
   $$\phi_1 = \cos(nx) \; , \quad \phi_2 = \sin(nx) \; , \quad (n \mbox{ - liczba całkowita}) \; .$$
   
   
   Pokazać, że funkcje (78) tworzą dwuwymiarową zespoloną przestrzeń wektorową. Przyjmując, że iloczyn skalarny w tej przestrzeni dany jest w postaci (77), pokazać, że funkcje $\phi_1$ i $\phi_2$, po znormalizowaniu, tworzą w tej przestrzeni bazę ortonormalną. Pokazać, źe operator różniczkowania,
   
   $$\hat{R} = z \frac{d}{dx} \; \quad \mbox{gdzie} \quad z \in \mbox{\boldmath$C$} \; ,$$
   
   
   jest operatorem liniowym w rozważanej przestrzeni wektorowej. Wyznaczyć macierz $\mbox{\boldmath$R$}$ tego operatora w bazie ortonormalnej. Dla jakich $z$ operator $\hat{R}$ jest operatorem hermitowskim w tej przestrzeni wektorowej?