Macierze
Macierzą
o wymiarach
nazywa się zbiór pewnych elementów
, ułożonych w formie dwuwymiarowej tablicy:
![\begin{displaymath}
\mbox{\boldmath$A$} = \left(
\begin{array}{cccc}
A_{11...
...{M1} & A_{M2} & \ldots & A_{MN}
\end{array}
\right) \; .
\end{displaymath}](img58.png) |
(25) |
Gdy
, macierz taką nazywamy macierzą prostokątną, a gdy
, macierzą kwadratową. Pierwszy wskaźnik,
, numeruje wiersze macierzy, a drugi wskaźnik,
, numeruje kolumny macierzy. Gdy
, macierz nazywa się macierzą (jedno)wierszową, a gdy
, macierzą (jedno)kolumnową; takie macierze będą dalej oznaczane małymi literami pogrubionymi, np.
![\begin{displaymath}
\mbox{\boldmath$a$} = \left(
\begin{array}{c}
a_1 \\
a_2 \\
\vdots \\
a_M
\end{array}
\right) \; .
\end{displaymath}](img65.png) |
(26) |
oznacza macierz kolumnową, gdzie dla wygody pominięto drugi wskaźnik (zawsze równy
), np.
, itd. Elementy macierzy,
, są zwykle liczbami należącymi do pewnego zbioru K, gdzie K
R lub K
C. Zgodnie z uwagą 9 rozdziału 1 przyjmujemy, że R
C, i będziemy traktować przypadek K
R jako przypadek szczególny sytuacji ogólnej K
C.
- Równość dwu macierzy,
, zachodzi, gdy mają te same wymiary i ich odpowiednie elementy są równe:
![\begin{displaymath}
A_{mn} = B_{mn} \; .
\end{displaymath}](img71.png) |
(27) |
- Dodawanie macierzy jest określone dla macierzy o tych samych wymiarach
:
![\begin{displaymath}
\mbox{\boldmath$C$} = \mbox{\boldmath$A$} + \mbox{\boldmath$B$} \; ,
\end{displaymath}](img72.png) |
(28) |
gdy elementy macierzy
wyznaczone są w postaci:
![\begin{displaymath}
C_{mn} = A_{mn} + B_{mn} \; .
\end{displaymath}](img74.png) |
(29) |
Dodawanie macierzy jest przemienne. Istnieje macierz zerowa
(o elementach równych 0), taka, źe dla dowolnej macierzy
![\begin{displaymath}
\mbox{\boldmath$A$} + \mbox{\boldmath$O$} = \mbox{\boldmath$A$} \; .
\end{displaymath}](img76.png) |
(30) |
Dla każdej macierzy
istnieje macierz przeciwna ![$-$](img77.png)
(o elementach przeciwnych, równych
), tak, że zachodzi
![\begin{displaymath}
\mbox{\boldmath$A$} + (- \mbox{\boldmath$A$}) = \mbox{\boldmath$A$} -\mbox{\boldmath$A$} = \mbox{\boldmath$O$} \; .
\end{displaymath}](img79.png) |
(31) |
Można też zdefiniować mnożenie macierzy przez liczbę:
![\begin{displaymath}
\mbox{\boldmath$C$} = c \mbox{\boldmath$A$} \; ,
\end{displaymath}](img80.png) |
(32) |
gdy elementy macierzy
wyznaczone są w postaci:
![\begin{displaymath}
C_{mn} = c A_{mn} \; .
\end{displaymath}](img81.png) |
(33) |
- Niech
jest macierzą o wymiarach
, a
macierzą o wymiarach
. Iloczynem tych macierzy nazywamy macierz
o wymiarach
,
![\begin{displaymath}
\mbox{\boldmath$C$} = \mbox{\boldmath$A$} \mbox{\boldmath$B$} \; ,
\end{displaymath}](img85.png) |
(34) |
której elementy oblicza się w sposób następujący:
![\begin{displaymath}
C_{mn} = A_{m1} B_{1n} + A_{m2} B_{2n} + \ldots + A_{mK} B_{Kn} = \sum_{k=1}^{K} A_{mk} B_{kn} \; .
\end{displaymath}](img86.png) |
(35) |
Można powiedzieć, że element
powstaje w wyniku ''pomnożenia''
-tego wiersza macierzy
przez
-tą kolumnę macierzy
.
- Gdy macierze
,
są macierzami kwadratowymi o wymiarach
, ich iloczyny
i
są także macierzami kwadratowymi o tych wymiarach i, naogół,
. W zbiorze macierzy kwadratowych, oprócz działań opisanych w p. 2, jest więc określone mnożenie (nieprzemienne). Z definicji dodawania (29) i mnożenia macierzy (35) wynika, że zachodzi rozdzielność dodawania względem mnożenia:
![\begin{displaymath}
\begin{array}{ccc}
(\mbox{\boldmath$A$} + \mbox{\boldmat...
...+ \mbox{\boldmath$C$} \mbox{\boldmath$B$} \; .
\end{array}
\end{displaymath}](img93.png) |
(36) |
- Mając daną macierz zespoloną
o wymiarach
, można skonstruować pewne macierze z nią związane:
- Macierz zespolona sprzężona
, o takich samych wymiarach i o elementach sprzężonych zespolonych,
![\begin{displaymath}
\widetilde{A}_{mn} = A_{mn}^* \; .
\end{displaymath}](img95.png) |
(37) |
- Macierz transponowaną
, o wymiarach
i elementach
![\begin{displaymath}
\widetilde{A}_{mn} = A_{nm} \; .
\end{displaymath}](img98.png) |
(38) |
Macierz transponowana
powstaje z macierzy
przez zamianę wierszy na kolumny i kolumn na wiersze, z pozostawieniem na miejscu tzw. elementów diagonalnych:
.
- Macierz hermitowsko sprzężoną
, o wymiarach
i elementach
![\begin{displaymath}
\widetilde{A}_{mn} = A_{nm}^* \; .
\end{displaymath}](img102.png) |
(39) |
Zachodzi oczywiście
![\begin{displaymath}
\mbox{\boldmath$A$}^{\dagger} = (\mbox{\boldmath$A$}^*)^T = (\mbox{\boldmath$A$}^T)^* \; .
\end{displaymath}](img103.png) |
(40) |
Na przykład, macierz hermitowsko sprzężona względem macierzy kolumnowej
, patrz równ. (26), jest macierzą wierszową:
![\begin{displaymath}
\mbox{\boldmath$a$}^{\dagger} = (a_1^*, a_2^*, \ldots, a_M^*) \; .
\end{displaymath}](img105.png) |
(41) |
Zauważmy przy okazji, że mnożenie macierzy wierszowej ![$a$](img104.png)
przez macierz kolumnową
, analogiczną do macierzy (26), daje macierz ![$a$](img104.png)
![$^{\dagger}$](img106.png)
, która jest macierzą o wymiarach
, czyli pewną liczbą ze zbioru liczb K:
K.
Dwukrotne powtórzenie każdej z operacji (a-c) przywraca stan początkowy:
![\begin{displaymath}
(\mbox{\boldmath$A$}^*)^* = (\mbox{\boldmath$A$}^T)^T = (\...
...\boldmath$A$}^{\dagger})^{\dagger} = \mbox{\boldmath$A$} \; .
\end{displaymath}](img109.png) |
(42) |
Zastosowanie operacji (a-c) do sumy macierzy daje:
![\begin{displaymath}
\begin{array}{ccc}
(\mbox{\boldmath$A$} + \mbox{\boldmat...
...{\dagger} + \mbox{\boldmath$B$}^{\dagger} ,
\end{array}
\end{displaymath}](img110.png) |
(43) |
a w przypadku iloczynu macierzy przez liczbę:
![\begin{displaymath}
\begin{array}{ccc}
(c \mbox{\boldmath$A$})^* & = & c^* \...
...r} & = &c^* \mbox{\boldmath$A$}^{\dagger} \; .
\end{array}
\end{displaymath}](img111.png) |
(44) |
Z kolei, zastosowanie operacji (a-c) do iloczynu macierzy daje:
![\begin{displaymath}
\begin{array}{ccc}
(\mbox{\boldmath$A$} \mbox{\boldmath$...
...}^{\dagger} \mbox{\boldmath$A$}^{\dagger} \; .
\end{array}
\end{displaymath}](img112.png) |
(45) |
Odnotujmy zmianę porządku iloczynu w wyniku operacji (b) i (c).
- Szczególną rolę w algebrze odgrywają macierze kwadratowe (
). Wśród macierzy kwadratowych wyróżnioną role odgrywają: (kwadratowa) macierz zerowa
, o własnościach określonych w równ. (30) i (31), oraz macierz jednostkowa,
![\begin{displaymath}
\mbox{\boldmath$1$} = \left(
\begin{array}{cccc}
1 & ...
...\vdots \\
0 & 0 & \ldots & 1
\end{array}
\right) \; ,
\end{displaymath}](img113.png) |
(46) |
spełniająca rolę ''jedynki'' w mnożeniu macierzy:
![\begin{displaymath}
\mbox{\boldmath$1$} \mbox{\boldmath$A$} = \mbox{\boldmath$A$} \mbox{\boldmath$1$} = \mbox{\boldmath$A$} \; .
\end{displaymath}](img114.png) |
(47) |
- Każdej macierzy kwadratowej
można przypisać liczbę
, zwaną wyznacznikiem macierzy
, zapisywaną także jako
![\begin{displaymath}
\det \mbox{\boldmath$A$} = \left\vert
\begin{array}{cccc...
... & A_{M2} & \ldots & A_{MM}
\end{array}
\right\vert \; ,
\end{displaymath}](img116.png) |
(48) |
a zdefinowaną formalnie w postaci
![\begin{displaymath}
\det \mbox{\boldmath$A$} = \sum_{\sigma} {\rm znak}(\sigma)
A_{1 \sigma(1)} A_{2 \sigma(2)} \cdots A_{M \sigma(M)} \; ,
\end{displaymath}](img117.png) |
(49) |
gdzie sumowanie rozciąga się na wszystkie
permutacji zbioru wskaźników
numerujących kolumny macierzy
, a znak(
) jest znakiem permutacji
, przyjmującym wartości
lub
, w zależności od tego, czy permutacja ta jest parzysta, czy nieparzysta. Prosty przykład: wyznacznik macierzy
o wymiarach
:
![\begin{displaymath}
\det \mbox{\boldmath$A$} = \left\vert
\begin{array}{cc}
...
...end{array}
\right\vert = A_{11} A_{22} - A_{12} A_{21} \; .
\end{displaymath}](img125.png) |
(50) |
W przypadku macierzy wyższych wymiarów efektywnym sposobem obliczania wyznaczników jest zastosowanie tzw. rozwinięcia Laplace'a (względem kolumn lub wierszy macierzy). Niektóre własności wyznacznika macierzy:
- Jeśli z macierzy
utworzyć nową macierz
przez zamianę dwóch kolumn (lub dwóch wierszy), to
. Wynika stąd, że gdy dwie kolumny (lub dwa wiersze) macierzy
są identyczne, to
.
- Zachodzi
![\begin{displaymath}
\det \mbox{\boldmath$1$} = 1 \; .
\end{displaymath}](img129.png) |
(51) |
Dla każdej macierzy kwadratowej
mamy
![\begin{displaymath}
\det (\mbox{\boldmath$A$}^T) = \det \mbox{\boldmath$A$} \; ,
\end{displaymath}](img130.png) |
(52) |
![\begin{displaymath}
\det (\mbox{\boldmath$A$}^*) = \det (\mbox{\boldmath$A$}^{\dagger}) = (\det \mbox{\boldmath$A$})^* \; ,
\end{displaymath}](img131.png) |
(53) |
- Jeśli macierze
i
są macierzami kwadratowymi o tych samych wymiarach, to
![\begin{displaymath}
\det (\mbox{\boldmath$A$}\mbox{\boldmath$B$}) = \det (\mbo...
...A$}) = \det \mbox{\boldmath$A$} \det \mbox{\boldmath$B$} \; .
\end{displaymath}](img132.png) |
(54) |
- Jeśli
jest macierzą kwadratową i
, to istnieje macierz odwrotna do macierzy
, oznaczana przez
, taka, że
![\begin{displaymath}
\mbox{\boldmath$A$}^{-1} \mbox{\boldmath$A$} = \mbox{\boldmath$A$}\mbox{\boldmath$A$}^{-1} = \mbox{\boldmath$1$} \; .
\end{displaymath}](img135.png) |
(55) |
Z równ. (51), (54) i (55) wynika, że
![\begin{displaymath}
\det (\mbox{\boldmath$A$}^{-1}) = (\det \mbox{\boldmath$A$})^{-1} \; .
\end{displaymath}](img136.png) |
(56) |
Prosty przykład: macierz odwrotna do macierzy
o wymiarach
:
![\begin{displaymath}
\mbox{\boldmath$A$}^{-1} = \frac{1}{\det \mbox{\boldmath$...
... A_{12} \\
- A_{21} & A_{11}
\end{array}
\right) \; ,
\end{displaymath}](img137.png) |
(57) |
gdzie
jest zdefiniowany w równ. (50).
Jeśli
i
są macierzami kwadratowymi o tych samych wymiarach i są odwracalne (czyli mają odwrotności), to ich iloczyn
jest także macierzą odwracalną [bo wyznacznik (54) jest różny od zera] i zachodzi
![\begin{displaymath}
\mbox{\boldmath$AB$}^{-1} = \mbox{\boldmath$B$}^{-1} \mbox{\boldmath$A$}^{-1} \; .
\end{displaymath}](img138.png) |
(58) |
Tu, podobnie jak w przypadku operacji (b) i (c) w równ. (45), także zachodzi zmiana porządku iloczynu.
- Rozważmy macierze zespolone (K
C). Macierz kwadratową
nazywamy:
- rzeczywistą, gdy
![\begin{displaymath}
\mbox{\boldmath$A$}^* = \mbox{\boldmath$A$} \quad (\mbox{czyli } A_{mn}^* = A_{mn}) \; ,
\end{displaymath}](img139.png) |
(59) |
- symetryczną, gdy
![\begin{displaymath}
\mbox{\boldmath$A$}^T = \mbox{\boldmath$A$} \quad (\mbox{czyli } A_{nm} = A_{mn}) \; ,
\end{displaymath}](img140.png) |
(60) |
- hermitowską, gdy
![\begin{displaymath}
\mbox{\boldmath$A$}^{\dagger} = \mbox{\boldmath$A$} \quad (\mbox{czyli } A_{nm}^* = A_{mn}) \; ,
\end{displaymath}](img141.png) |
(61) |
- ortogonalną, gdy
i zachodzi
![\begin{displaymath}
\mbox{\boldmath$A$}^T = \mbox{\boldmath$A$}^{-1} \; ,
\end{displaymath}](img143.png) |
(62) |
- unitarną, gdy
i zachodzi
![\begin{displaymath}
\mbox{\boldmath$A$}^{\dagger} = \mbox{\boldmath$A$}^{-1} \; .
\end{displaymath}](img144.png) |
(63) |
Z równ. (52), (56) i (62) wynika, źe w przypadku macierzy ortogonalnej zachodzi
![\begin{displaymath}
(\det \mbox{\boldmath$A$})^2 = 1 \; .
\end{displaymath}](img145.png) |
(64) |
Podobnie, z równ. (53), (56) i (63) wynika, źe w przypadku macierzy unitarnej zachodzi
![\begin{displaymath}
\vert\det \mbox{\boldmath$A$})\vert^2 = 1 \; .
\end{displaymath}](img146.png) |
(65) |
Gdy rozważamy macierze rzeczywiste (K
R), to równ. (59) jest zawsze spełnione, patrz uwaga 9 w rozdziale 1. W tym przypadku pojęcie macierzy hermitowskiej pokrywa się z pojęciem macierzy symetrycznej, a pojęcie macierzy unitarnej pokrywa się z pojęciem macierzy ortogonalnej.
Edyta Malolepsza
2000-12-20