Macierze

Macierzą $A$ o wymiarach $M \times N$ nazywa się zbiór pewnych elementów $\{ A_{mn} \}_{m=1, n=1}^{m=M, n=N}$, ułożonych w formie dwuwymiarowej tablicy:

$$\mbox{\boldmath$A$} = \left( \begin{array}{cccc} A_{11... ...{M1} & A_{M2} & \ldots & A_{MN} \end{array} \right) \; .$$ (25)

Gdy $N \neq M$, macierz taką nazywamy macierzą prostokątną, a gdy $N = M$, macierzą kwadratową. Pierwszy wskaźnik, $m = 1, 2, \ldots, M$, numeruje wiersze macierzy, a drugi wskaźnik, $n = 1, 2, \ldots, N$, numeruje kolumny macierzy. Gdy $M = 1$, macierz nazywa się macierzą (jedno)wierszową, a gdy $N = 1$, macierzą (jedno)kolumnową; takie macierze będą dalej oznaczane małymi literami pogrubionymi, np.

$$\mbox{\boldmath$a$} = \left( \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_M \end{array} \right) \; .$$ (26)

oznacza macierz kolumnową, gdzie dla wygody pominięto drugi wskaźnik (zawsze równy $1$), np. $a_{11} = a_1, \; a_{21} = a_2$, itd. Elementy macierzy, $A_{mn}$, są zwykle liczbami należącymi do pewnego zbioru K, gdzie K $=$ R lub K $=$ C. Zgodnie z uwagą 9 rozdziału 1 przyjmujemy, że R $\subset$ C, i będziemy traktować przypadek K $=$ R jako przypadek szczególny sytuacji ogólnej K $=$ C.

1. Równość dwu macierzy, $\mbox{\boldmath$A$} = \mbox{\boldmath$B$}$, zachodzi, gdy mają te same wymiary i ich odpowiednie elementy są równe:
   

   $$A_{mn} = B_{mn} \; .$$ (27)

   
   

2. Dodawanie macierzy jest określone dla macierzy o tych samych wymiarach $M \times N$:
   

   $$\mbox{\boldmath$C$} = \mbox{\boldmath$A$} + \mbox{\boldmath$B$} \; ,$$ (28)

   
   
   gdy elementy macierzy $C$ wyznaczone są w postaci:
   

   $$C_{mn} = A_{mn} + B_{mn} \; .$$ (29)

   
   
   Dodawanie macierzy jest przemienne. Istnieje macierz zerowa $O$ (o elementach równych 0), taka, źe dla dowolnej macierzy $A$
   

   $$\mbox{\boldmath$A$} + \mbox{\boldmath$O$} = \mbox{\boldmath$A$} \; .$$ (30)

   
   
   Dla każdej macierzy $A$ istnieje macierz przeciwna $-$$A$ (o elementach przeciwnych, równych $-A_{mn}$), tak, że zachodzi
   

   $$\mbox{\boldmath$A$} + (- \mbox{\boldmath$A$}) = \mbox{\boldmath$A$} -\mbox{\boldmath$A$} = \mbox{\boldmath$O$} \; .$$ (31)

   
   
   Można też zdefiniować mnożenie macierzy przez liczbę:
   

   $$\mbox{\boldmath$C$} = c \mbox{\boldmath$A$} \; ,$$ (32)

   
   
   gdy elementy macierzy $C$ wyznaczone są w postaci:
   

   $$C_{mn} = c A_{mn} \; .$$ (33)

   
   

3. Niech $A$ jest macierzą o wymiarach $M \times K$, a $B$ macierzą o wymiarach $K \times N$. Iloczynem tych macierzy nazywamy macierz $C$ o wymiarach $M \times N$,
   

   $$\mbox{\boldmath$C$} = \mbox{\boldmath$A$} \mbox{\boldmath$B$} \; ,$$ (34)

   
   
   której elementy oblicza się w sposób następujący:
   

   $$C_{mn} = A_{m1} B_{1n} + A_{m2} B_{2n} + \ldots + A_{mK} B_{Kn} = \sum_{k=1}^{K} A_{mk} B_{kn} \; .$$ (35)

   
   
   Można powiedzieć, że element $C_{mn}$ powstaje w wyniku ''pomnożenia'' $m$-tego wiersza macierzy $A$ przez $n$-tą kolumnę macierzy $B$.
4. Gdy macierze $A$, $B$ są macierzami kwadratowymi o wymiarach $M \times M$, ich iloczyny $AB$ i $BA$ są także macierzami kwadratowymi o tych wymiarach i, naogół, $\mbox{\boldmath$AB$} \neq \mbox{\boldmath$BA$}$. W zbiorze macierzy kwadratowych, oprócz działań opisanych w p. 2, jest więc określone mnożenie (nieprzemienne). Z definicji dodawania (29) i mnożenia macierzy (35) wynika, że zachodzi rozdzielność dodawania względem mnożenia:
   

   $$\begin{array}{ccc} (\mbox{\boldmath$A$} + \mbox{\boldmat... ...+ \mbox{\boldmath$C$} \mbox{\boldmath$B$} \; . \end{array}$$ (36)

   
   

5. Mając daną macierz zespoloną $A$ o wymiarach $M \times N$, można skonstruować pewne macierze z nią związane:
   1. Macierz zespolona sprzężona $\mbox{\boldmath$A$}^* = \widetilde{\mbox{\boldmath$A$}}$, o takich samych wymiarach i o elementach sprzężonych zespolonych,
      

      $$\widetilde{A}_{mn} = A_{mn}^* \; .$$ (37)

      
      

   2. Macierz transponowaną $\mbox{\boldmath$A$}^T = \widetilde{\mbox{\boldmath$A$}}$, o wymiarach $N \times M$ i elementach
      

      $$\widetilde{A}_{mn} = A_{nm} \; .$$ (38)

      
      
      Macierz transponowana $\mbox{\boldmath$A$}^T$ powstaje z macierzy $A$ przez zamianę wierszy na kolumny i kolumn na wiersze, z pozostawieniem na miejscu tzw. elementów diagonalnych: $A_{11}, A_{22}, \ldots \;$.
   3. Macierz hermitowsko sprzężoną $\mbox{\boldmath$A$}^{\dagger} = \widetilde{\mbox{\boldmath$A$}}$, o wymiarach $N \times M$ i elementach
      

      $$\widetilde{A}_{mn} = A_{nm}^* \; .$$ (39)

      
      
      Zachodzi oczywiście
      

      $$\mbox{\boldmath$A$}^{\dagger} = (\mbox{\boldmath$A$}^*)^T = (\mbox{\boldmath$A$}^T)^* \; .$$ (40)

      
      
      Na przykład, macierz hermitowsko sprzężona względem macierzy kolumnowej $a$, patrz równ. (26), jest macierzą wierszową:
      

      $$\mbox{\boldmath$a$}^{\dagger} = (a_1^*, a_2^*, \ldots, a_M^*) \; .$$ (41)

      
      
      Zauważmy przy okazji, że mnożenie macierzy wierszowej $a$$^{\dagger}$ przez macierz kolumnową $b$, analogiczną do macierzy (26), daje macierz $a$$^{\dagger}$$b$, która jest macierzą o wymiarach $1 \times 1$, czyli pewną liczbą ze zbioru liczb K: $\; \mbox{\boldmath$a$}^{\dagger} \mbox{\boldmath$b$} \in$ K.
   Dwukrotne powtórzenie każdej z operacji (a-c) przywraca stan początkowy:
   

   $$(\mbox{\boldmath$A$}^*)^* = (\mbox{\boldmath$A$}^T)^T = (\... ...\boldmath$A$}^{\dagger})^{\dagger} = \mbox{\boldmath$A$} \; .$$ (42)

   
   
   Zastosowanie operacji (a-c) do sumy macierzy daje:
   

   $$\begin{array}{ccc} (\mbox{\boldmath$A$} + \mbox{\boldmat... ...{\dagger} + \mbox{\boldmath$B$}^{\dagger} , \end{array}$$ (43)

   
   
   a w przypadku iloczynu macierzy przez liczbę:
   

   $$\begin{array}{ccc} (c \mbox{\boldmath$A$})^* & = & c^* \... ...r} & = &c^* \mbox{\boldmath$A$}^{\dagger} \; . \end{array}$$ (44)

   
   
   Z kolei, zastosowanie operacji (a-c) do iloczynu macierzy daje:
   

   $$\begin{array}{ccc} (\mbox{\boldmath$A$} \mbox{\boldmath$... ...}^{\dagger} \mbox{\boldmath$A$}^{\dagger} \; . \end{array}$$ (45)

   
   
   Odnotujmy zmianę porządku iloczynu w wyniku operacji (b) i (c).
6. Szczególną rolę w algebrze odgrywają macierze kwadratowe ($N = M$). Wśród macierzy kwadratowych wyróżnioną role odgrywają: (kwadratowa) macierz zerowa $O$, o własnościach określonych w równ. (30) i (31), oraz macierz jednostkowa,
   

   $$\mbox{\boldmath$1$} = \left( \begin{array}{cccc} 1 & ... ...\vdots \\ 0 & 0 & \ldots & 1 \end{array} \right) \; ,$$ (46)

   
   
   spełniająca rolę ''jedynki'' w mnożeniu macierzy:
   

   $$\mbox{\boldmath$1$} \mbox{\boldmath$A$} = \mbox{\boldmath$A$} \mbox{\boldmath$1$} = \mbox{\boldmath$A$} \; .$$ (47)

   
   

7. Każdej macierzy kwadratowej $A$ można przypisać liczbę $\det \mbox{\boldmath$A$}$, zwaną wyznacznikiem macierzy $A$, zapisywaną także jako
   

   $$\det \mbox{\boldmath$A$} = \left\vert \begin{array}{cccc... ... & A_{M2} & \ldots & A_{MM} \end{array} \right\vert \; ,$$ (48)

   
   
   a zdefinowaną formalnie w postaci
   

   $$\det \mbox{\boldmath$A$} = \sum_{\sigma} {\rm znak}(\sigma) A_{1 \sigma(1)} A_{2 \sigma(2)} \cdots A_{M \sigma(M)} \; ,$$ (49)

   
   
   gdzie sumowanie rozciąga się na wszystkie $M!$ permutacji zbioru wskaźników $1,2,$ $\ldots,M$ numerujących kolumny macierzy $A$, a znak($\sigma$) jest znakiem permutacji $\sigma$, przyjmującym wartości $+1$ lub $-1$, w zależności od tego, czy permutacja ta jest parzysta, czy nieparzysta. Prosty przykład: wyznacznik macierzy $A$ o wymiarach $2 \times 2$:
   

   $$\det \mbox{\boldmath$A$} = \left\vert \begin{array}{cc} ... ...end{array} \right\vert = A_{11} A_{22} - A_{12} A_{21} \; .$$ (50)

   
   
   W przypadku macierzy wyższych wymiarów efektywnym sposobem obliczania wyznaczników jest zastosowanie tzw. rozwinięcia Laplace'a (względem kolumn lub wierszy macierzy). Niektóre własności wyznacznika macierzy:
   1. Jeśli z macierzy $A$ utworzyć nową macierz $\mbox{\boldmath$A$}'$ przez zamianę dwóch kolumn (lub dwóch wierszy), to $\det \mbox{\boldmath$A$}' = - \det \mbox{\boldmath$A$}$. Wynika stąd, że gdy dwie kolumny (lub dwa wiersze) macierzy $A$ są identyczne, to $\det \mbox{\boldmath$A$} = 0$.
   2. Zachodzi
      

      $$\det \mbox{\boldmath$1$} = 1 \; .$$ (51)

      
      
      Dla każdej macierzy kwadratowej $A$ mamy
      

      $$\det (\mbox{\boldmath$A$}^T) = \det \mbox{\boldmath$A$} \; ,$$ (52)

      
      
      
      

      $$\det (\mbox{\boldmath$A$}^*) = \det (\mbox{\boldmath$A$}^{\dagger}) = (\det \mbox{\boldmath$A$})^* \; ,$$ (53)

      
      

   3. Jeśli macierze $A$ i $B$ są macierzami kwadratowymi o tych samych wymiarach, to
      

      $$\det (\mbox{\boldmath$A$}\mbox{\boldmath$B$}) = \det (\mbo... ...A$}) = \det \mbox{\boldmath$A$} \det \mbox{\boldmath$B$} \; .$$ (54)

      
      

8. Jeśli $A$ jest macierzą kwadratową i $\det \mbox{\boldmath$A$} \neq 0$, to istnieje macierz odwrotna do macierzy $A$, oznaczana przez $\mbox{\boldmath$A$}^{-1}$, taka, że
   

   $$\mbox{\boldmath$A$}^{-1} \mbox{\boldmath$A$} = \mbox{\boldmath$A$}\mbox{\boldmath$A$}^{-1} = \mbox{\boldmath$1$} \; .$$ (55)

   
   
   Z równ. (51), (54) i (55) wynika, że
   

   $$\det (\mbox{\boldmath$A$}^{-1}) = (\det \mbox{\boldmath$A$})^{-1} \; .$$ (56)

   
   
   Prosty przykład: macierz odwrotna do macierzy $A$ o wymiarach $2 \times 2$:
   

   $$\mbox{\boldmath$A$}^{-1} = \frac{1}{\det \mbox{\boldmath$... ... A_{12} \\ - A_{21} & A_{11} \end{array} \right) \; ,$$ (57)

   
   
   gdzie $\det \mbox{\boldmath$A$}$ jest zdefiniowany w równ. (50).
   Jeśli $A$ i $B$ są macierzami kwadratowymi o tych samych wymiarach i są odwracalne (czyli mają odwrotności), to ich iloczyn $AB$ jest także macierzą odwracalną [bo wyznacznik (54) jest różny od zera] i zachodzi
   

   $$\mbox{\boldmath$AB$}^{-1} = \mbox{\boldmath$B$}^{-1} \mbox{\boldmath$A$}^{-1} \; .$$ (58)

   
   
   Tu, podobnie jak w przypadku operacji (b) i (c) w równ. (45), także zachodzi zmiana porządku iloczynu.
9. Rozważmy macierze zespolone (K $=$ C). Macierz kwadratową $A$ nazywamy:
   - rzeczywistą, gdy
   

   $$\mbox{\boldmath$A$}^* = \mbox{\boldmath$A$} \quad (\mbox{czyli } A_{mn}^* = A_{mn}) \; ,$$ (59)

   
   
   - symetryczną, gdy
   

   $$\mbox{\boldmath$A$}^T = \mbox{\boldmath$A$} \quad (\mbox{czyli } A_{nm} = A_{mn}) \; ,$$ (60)

   
   
   - hermitowską, gdy
   

   $$\mbox{\boldmath$A$}^{\dagger} = \mbox{\boldmath$A$} \quad (\mbox{czyli } A_{nm}^* = A_{mn}) \; ,$$ (61)

   
   
   - ortogonalną, gdy $\det \mbox{\boldmath$A$} \ne 0$ i zachodzi
   

   $$\mbox{\boldmath$A$}^T = \mbox{\boldmath$A$}^{-1} \; ,$$ (62)

   
   
   - unitarną, gdy $\det \mbox{\boldmath$A$} \ne 0$ i zachodzi
   

   $$\mbox{\boldmath$A$}^{\dagger} = \mbox{\boldmath$A$}^{-1} \; .$$ (63)

   
   
   Z równ. (52), (56) i (62) wynika, źe w przypadku macierzy ortogonalnej zachodzi
   

   $$(\det \mbox{\boldmath$A$})^2 = 1 \; .$$ (64)

   
   
   Podobnie, z równ. (53), (56) i (63) wynika, źe w przypadku macierzy unitarnej zachodzi
   

   $$\vert\det \mbox{\boldmath$A$})\vert^2 = 1 \; .$$ (65)

   
   
   Gdy rozważamy macierze rzeczywiste (K $=$ R), to równ. (59) jest zawsze spełnione, patrz uwaga 9 w rozdziale 1. W tym przypadku pojęcie macierzy hermitowskiej pokrywa się z pojęciem macierzy symetrycznej, a pojęcie macierzy unitarnej pokrywa się z pojęciem macierzy ortogonalnej.