Układy równań liniowych

Układ $M$ równań liniowych z $N$ niewiadomymi $x_1, x_2, \ldots , x_N$, należącymi do zbioru liczb K (równego R lub C), zapisuje się w postaci

$$\begin{array}{ccccl} A_{11} x_1 + A_{12} x_2 \; +... ... + & \ldots & + \; A_{MN} x_N & = & b_M , \end{array}$$ (66)

gdzie liczby $A_{mn}$, zwane współczynnikami liniowymi, tworzą macierz prostokątną $A$ o wymiarach $M \times N$, patrz równ. (25), a liczby $b_m$, zwane wyrazami wolnymi, tworzą macierz kolumnową $b$ o wymiarze $M$, analogiczną do zdefiniowanej w równ. (26). Zarówno współczynniki liniowe, jak i wyrazy wolne należą do tego samego zbioru liczb K. Wprowadzając macierz kolumnową o wymiarze $N$, zbudowaną z niewiadomych,

$$\mbox{\boldmath$x$} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_N \end{array} \right) \; ,$$ (67)

można układ równań (66) zapisać w równoważnej postaci macierzowej:

$$\mbox{\boldmath$A$} \mbox{\boldmath$x$} = \mbox{\boldmath$b$} ,$$ (68)

gdzie mnożenie macierzy współczynników $A$, o wymiarach $M \times N$, przez macierz niewiadomych $x$, o wymiarach $N \times 1$, daje macierz wyrazów wolnych $b$, o wymiarach $M \times 1$.

1. Układ równań liniowych (66) może: (i) nie mieć rozwiązań (nazywany jest wtedy sprzecznym), (ii) mieć jedno rozwiązanie $x$, (iii) mieć nieskończenie wiele rozwiązań.
2. Układ równań liniowych (66) nazywa się układem jednorodnym, gdy wszystkie wyrazy wolne są równe zeru, $\mbox{\boldmath$b$} = \mbox{\boldmath$0$}$; w przeciwnym wypadku układ nazywa się układem niejednorodnym. Jednym z rozwiązań jednorodnego układu równań liniowych jest zawsze rozwiązanie zerowe, $\mbox{\boldmath$x$} = \mbox{\boldmath$0$}$. Uwaga: jeśli $\mbox{\boldmath$x$} \neq \mbox{\boldmath$0$}$ jest rozwiązaniem jednorodnego układu równań, a $c$ jest dowolną liczbą ze zbioru K, to $\mbox{\boldmath$x$}' = c \mbox{\boldmath$x$}$ jest także rozwiązaniem tego układu równań.
3. Dowodzi się, że jeśli w układzie równań (66):
   (a) jedno z równań-wierszy pomnożyć stronami przez pewną liczbę $c \neq 0$, to otrzymany w ten sposób nowy układ równań ma ten sam zbiór rozwiązań;
   (b) do jednego z równań-wierszy dodać stronami inne równanie-wiersz, to otrzymany w ten sposób nowy układ równań ma ten sam zbiór rozwiązań.
   Wielokrotne zastosowanie operacji (a) i (b), z odpowiednio dobranymi mnożnikami $c$, może doprowadzic do eliminacji jednej z niewiadomych, a w konsekwencji do otrzymania nowego układu $M-1$ równań z $N-1$ niewiadomymi; jest to metoda rozwiązywania układu równań liniowych przez kolejną eliminację niewiadomych.
4. Skupimy się teraz na ważnym przypadku szczególnym, gdy liczba równań równa jest liczbie niewiadomych, $M = N$. Macierz $A$ jest wtedy macierzą kwadratową $N \times N$. Rozpatrzymy dwie możliwości:
   (1) $\det \mbox{\boldmath$A$} \neq 0$. Istnieje wtedy macierz odwrotna $\mbox{\boldmath$A$}^{-1}$, i mnożąc lewostronnie obie strony równania macierzowego (68) przez tę macierz otrzymujemy (jedyne) rozwiązanie układu równań (66) w postaci
   

   $$\mbox{\boldmath$x$} = \mbox{\boldmath$A$}^{-1} \mbox{\boldmath$b$} .$$ (69)

   
   
   Metoda rozwiązywania układu równań liniowych $N \times N$ przez wyznaczanie macierzy $\mbox{\boldmath$A$}^{-1}$ nie jest opłacalna w praktyce, gdy liczba niewiadomych $N$ jest duża; korzystniej jest wtedy stosować odpowiednio zoptymalizowaną metodę kolejnej eliminacji niewiadomych. W szczególnym przypadku jednorodnego układu równań, $\mbox{\boldmath$b$} = \mbox{\boldmath$0$}$, z równ. (69) otrzymujemy jako (jedyne) rozwiązanie wynik $\mbox{\boldmath$x$} = \mbox{\boldmath$0$}$.
   (2) $\det \mbox{\boldmath$A$} = 0$. W tym przypadku można wykazać, że niejednorodny układ równań (66) jest albo sprzeczny, albo ma nieskończenie wiele rozwiązań. Interesujący jest przypadek układu jednorodnego - można wykazać, że taki układ ma w tym przypadu także rozwiązania niezerowe, $\mbox{\boldmath$x$} \neq \mbox{\boldmath$0$}$. Co więcej, jest wtedy nieskończenie wiele rozwiązań niezerowych proporcjonalnych do siebie, patrz uwaga w punkcie 2. Mogą jednak wystąpić także rozwiązania niezerowe, które nie są proporcjonalne do siebie. łatwo można wykazać, że jeśli $\mbox{\boldmath$x$}$ i $\mbox{\boldmath$x$}'$ są takimi dwoma rozwiązaniami, to $\mbox{\boldmath$x$}'' = c \mbox{\boldmath$x$} + c' \mbox{\boldmath$x$}'$, gdzie $c$ i $c'$ są dowolnymi liczbami ze zbioru K, jest także rozwiązaniem niezerowym naszego jednorodnego układu równań liniowych. Podumowując: warunkiem koniecznym i wystarczającym, by jednorodny układ N równań liniowych z N niewiadomymi (66) miał rozwiązania niezerowe, jest $\det \mbox{\boldmath$A$} = 0$.